![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Примеры.
1. f(z)= (-1)nz2n=
(-z2)n=1/(1+z2); Как легко показать, ряд сходится при | z|<1. Сумма ряда – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Особые точки суммы ряда очевидно z1,2=±i. Отсюда понятно, почему разложение функции f(x)= 1/(1+x2) в степенной ряд в окрестности точки x=0 абсолютно сходится только при -1<x<1 и расходится при |x|≥1, хотя эта функция при "x обладает непрерывными и ограниченными производными " порядка.
2. Степенной ряд, сумма которого имеет счетное, всюду плотное
множество особых точек на границе своего круга сходимости.
- сходится при |z|<1 (по формуле Коши- Адамара).
При z=1 ряд расходится. Рассмотрим точки , |zk,m|=1;
k-фиксировано, m=0,1,2....; m=0, zk,0=1; m=2k, =1, при m=1,...,2k-1 точки делят окружность единичного радиуса на 2k частей.
и при n³k
=1=> в этих точках ряд расходится. При k®¥ точки zk,m всюду плотно расположены на единичной окружности => Сумма ряда имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе единичного круга (т.е. в любой ϵ-окрестности каждой точки границы |z|=1 найдутся особые точки) => Эту аналитическую функцию нельзя аналитически продолжить за границу единичного круга!!. (Т.к. в " точке z: |z|<1 радиус круга сходимости степенного ряда будет не больше расстояния до границы единичного круга. По следствию к теореме 13.1.
3. Рассмотрим ряд
По формуле Коши-Адамара, данный ряд сходится в любой точке |z|<1 к (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)
Вне круга сходимости ряд расходится. Построим разложение f(z) в степенной ряд с центром в т.z0= -0,9:
В нашем случае f(z)= Круг сходимости
Ряд сходится внутри круга сходимости к
. Т.е. круг сходимости выходит за пределы первоначального круга |z|<1.
Взяв в качестве нового центра разложения точку z1 внутри круга |z-z0|<|1-z0|, получим ряд , сходящийся внутри круга |z-z1|<|1-z1|
Ряд сходятся к функциям . Отметим, что при любом выборе центра разложения, граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку z=1. Тем самым можно построить аналитическое продолжение f(z) на всю комплексную плоскость за исключением точки z=1. При этом, полученное с помощью рядов аналитическое продолжение будет
- определенная и аналитическая на всей комплексной плоскости, кроме точки z=1. Хотя и имеют место многочисленные взаимные наложения построенной цепочки областей, полученная аналитическая функция является однозначной во всей области своего определения.
4. Пусть f(z) является аналитической функцией в области g. И пусть точка z0 является достижимой граничной точкой. Будет ли z0- особой точкой f(z).
Теорема Принсгейма. Если и Recn≥0 – то точка z=1 – особая точка функции
Теорема Фабри. Если то точка z=1 – особая точка функции
Эти теоремы выходят за рамки нашего курса, поэтому даются без доказательств.
п.3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.
Теорема 13.2
Пусть fi(z)ÎC¥(gi), i=1,2 и fi(z)ÎC (gi+G) и f1|G= f2|G. Тогда
F(z)= ÎC¥(g=g1+g2+G).
Доказательство. Достаточно показать, что "z0ÎG является правильной точкой F(z) (кроме может быть концевых точек G). Возьмем "z0ÎG и построим C=C1(Ìg1)+C2(Ìg2); CÌg- кусочно- гладкие. Рассмотрим интеграл типа Коши
F(z)= ÎC¥(g'Ìg). Поскольку при zÏC F(z) непрерывна на C, то z0- правильная точка F(z).Пусть z1Îg'1. Тогда F(z1)=
+ +
. Второе слагаемое равно 0 т.к. z1Îg'1. => F(z1)=F(z1). Аналогично получим, что при z2Îg'2 F(z2)=F(z2). По непрерывности получим, что F(z0)=F(z0) => z0ÎG является правильной точкой F(z). n
Построенная функция F(z) является аналитическим продолжением функции f1(z) в область g.
§14. Аналитическое продолжение с действительной оси.
п.1. Элементарные функции комплексной переменной.
Пусть [a,b]Ìg комплексной плоскости z. Тогда в силу теоремы единственности определенной аналитической функции в g может $! функция f(z)ÎC¥(g), принимающая заданные значения f(x) на xÎ[a,b]. Если такая f(z) $, то она называется аналитическим продолжением в комплексную плоскость функции действительной переменной, заданной на действительной оси. f(x)- вообще говоря, комплексная функция действительной переменной. Причем в силу свойств аналитической функции f(x) должна быть бесконечно дифференцируема по x!!.
Элементарные функции действительной переменной.
sin x= ; cos x=
; ex=
- сходятся для "x
Целые функции (область сходимости – вся комплексная плоскость) ,
,
- единственные аналитические продолжения sin x, cos x, ex на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется формула Эйлера: eiz=cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.
п.2. Аналитическое продолжение соотношений.
Перейдем к рассмотрению дальнейших следствий из теоремы о единственности определения аналитической функции. Эта теорема позволяет не только строить аналитические продолжения элементарных функций действительной переменной, но и аналитически продолжать в комплексную область соотношения.
Определение. Функция комплексных переменных F(w1,w2,…,wn), wiÎDi, называется аналитической функцией многих переменных, если F и ∂F/∂wi непрерывны по совокупности переменных w1,w2,…,wn.
Определение. Функция комплексных переменных F(z1,z2,…,zn), ziÎDi, называется аналитической функцией каждой из переменных, если соответствующая функция Фi(zi)=F(z10, …,zi-10,zi, zi+10,…zn0) одной переменной zi является аналитической функцией данной переменной. Тогда
Теорема 14.1 Пусть функции wi=fi(z)ÎC¥(g) и [a,b]Ìg, wiÎDi. И пусть F(z)=F[w1,..., wn] является аналитической функцией каждой из переменных wiÎDi. Тогда из соотношения F[f1(x),...,fn(x)]=0, xÎ[a,b] =>F[f1(z),...,fn(z)]º0, zÎg.
Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что F(z)ÎC¥(g). Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное.
DF=F[f1(z+Dz),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z)]=F[f1(z+Dz),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z+Dz)]+ +F[f1(z),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z)]= т.к. частные производные F существуют и непрерывны= =>$
, Ф’(z)-непрерывна =>F(z)ÎC¥(g) n.
Примеры.
1. Из известного соотношения eix=cos x+ isin x => eiz=cos z+ isin z
2. sin2x+cos2x=1 => sin2z+cos2z=1, причем |cos z| и |sin z| по Теореме Лиувилля неограниченны на всей комплексной плоскости.
3.
; elnx=x, x>0. В области D0 рассмотрим неопределенный интеграл f(z)=
; 1/xÎC¥(x¹0). Интеграл по " пути, (не пересекающему разрез!) $ и f(z)ÎC¥(D0)- аналитическое продолжение
ln x (x>0). Если сохранить старое обозначение, то lnz= , zÎC¥(D0). По теореме 14.1 eln z=z, " zÎD0. lnz – главное значение логарифма
Теорема 14.2 Пусть функции wi=fi(z)ÎC¥(gi) и [ai,bi]Ìgi, wiÎDi. И пусть F(z1,…,zn)=F[w1,..., wn] является аналитической функцией каждой из переменных wiÎDi. Тогда из соотношения F[f1(x1),...,fn(xn)]=0, xiÎ[ai,bi] (*) =>F[f1(z1),...,fn(zn)]=0, ziÎgi.
Доказательство. Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное. Фиксируем x20Î[a2,b2] и рассмотрим F1(z1)=F[f1(z1),f2(x20)]ÎC¥(g1). По теореме 14.1 из (*) => F1(z1)º0, z1Îg1. Т.к. x20- произвольное, то => F[f1(z1),f2(x2)]=0, z1Îg1, x2Î[a2,b2] (**). Фиксируем z10Îg1 и рассмотрим F2(z2)=F[f1(z10),f2(z2)]ÎC¥(g2). Из (**)=>F2(z2)º0, z2Îg2 => F[f1(z10),f2(z2)]=0, z2Îg2 Т.к. z10- любое из g1 то F[f1(z1),f2(z2)]=0, z1Îg1, z2Îg2. n
Примеры.
1. sin(z1+z2)=sinz1cosz2+cosz1sinz2 "z1,z2 и другие тригонометрические формулы для функций разных аргументов.
2. w=f(z)=ez- аналитическое продолжение ex на всю комплексную
плоскость. Т.к. ex1+x2= ex1 ex2=> ez1+z2= ez1 ez2, в частности ez=ex+iy=ex eiy=w => =>|w|=ex, arg w=y - показательная функция w= ez производит отображение прямой y=y0 на плоскости z на луч arg w=y0 на плоскости w.
Обратная функция z=lnw=x+iy=ln|w|+iarg w.
п.3. Понятие Римановой поверхности
Пусть f1(z)ÎC¥(g1) и g1Çg2=g12È g21¹Æ и пусть f2(z)ÎC¥(g2), причем f2(z)ºf1(z), zÎg12, но f2(z)≠f1(z) при zÎg21,. Тогда мы получаем двузначную аналитическую функцию F(z)= ÎC¥(g). Значит придется сталкиваться с выбором значения функции в точках многозначности. Для удобства выбора этих значений часто пользуются понятием ветви аналитической функции, являющейся однозначной и непрерывной функцией в соответствующей части области определения функции F(z). Однако, иногда удобнее оказывается иное представление, позволяющее рассматривать функцию как однозначную, но определенную на более сложном многообразии, чем обычная плоскость комплексной переменной. Так в нашем примере склеим области g1 и g2 по общей области g12, в которой f1(z) и f2(z) совпадают, а два экземпляра g21 оставлены свободными. Построенное таким образом многообразие называется римановой поверхностью аналитической функции, а отдельные экземпляры повторяющихся областей – различными листами римановой поверхности.
Примеры.
1. w=f(z)=ez. Полоса g0(-p<Imz<p)«D0(-p<arg w<p)- плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси, причем граничной прямой Imz=-p соответствует нижний берег разреза, а прямой Imz=p- верхний берег разреза.
Аналогично, g1(p<Imz<3p)«D1(p<arg w<3p). Чтобы при непрерывном переходе точки z из g0 в g1 через Imz=p образ этой точки непрерывно переходил из D0 в D1 надо склеить берега разрезов, соответствующие общему значению arg w=p. Получим новое геометрическое многообразие - двулистную Риманову поверхность, состоящую из листов D0 и D1.
Аналогично gn((2n-1)p<Imz<(2n+1)p)«Dn((2n-1)p<arg w<(2n+1)p). Полная комплексная плоскость z «бесконечнолистную Риманову поверхность, склеенную из листов Dn, причем лист Dn склеен с листами Dn+1 и Dn-1 по берегам разрезов на которых arg w принимает одинаковые значения. На этой Римановой поверхности определена обратная функция z=Ln w =ln|w|+iArg w, -¥<Arg w<¥.
На обычной комплексной плоскости w функция z=Ln w является бесконечнозначной (многозначной). На каждом листе- определенная ветвь lnn w. w=ez=eLnw. Функция w=ez - периодическая с минимальным периодом 2pi: ez= ez+2pi. ez- бескончнолистная (многолистная).
п.4. Понятие точки ветвления.
1. w=f(z)=ez. Особая роль точки w=0.
При обходе точки w0¹0 по достаточно малому замкнутому контуру, мы все время остаемся на одном и том же листе Dn, или возвращаемся на этот лист, дважды пересекая разрез, заходя на Dn-1(Dn+1). При этом, после обхода значение lnn w не изменится.
При обходе точки w=0 мы пересечем разрез только один раз и с одной ветви lnn w (lnn w0 = ln |w0|+i arg w0, (2n-1)p<arg w0<(2n+1)p) перейдем надругую ветвь lnn-1 w (lnn-1 w0 = ln |w0|+i arg w0, (2n-3)p<arg w0<(2n-1)p). Точка w=0 - точка ветвления функции z=Ln w. Причем для Ln w точка w=0- точка ветвления бесконечного порядка.
Аналогичными свойствами обладает бесконечно удаленная точка w=w¥. Напомним еще раз определение точки ветвления:
Определение. Если для точки z0 можно указать такую e-окрестность, что при однократном обходе точки z0 по " замкнутому контуру Ì этой e-окрестности, происходит переход с одной ветви многозначной функции на другую, то точка z0 называется точкой ветвления (разветвления) данной многозначной функции.
В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как отдельные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются.
f(z)=eaLnz= ea(ln|z|+iArg z).
При a=n: ein(arg z+2pk)= ein arg z => f(z)- однозначная (но многолистная, n-листная.).
При a=n/m - f(z) принимает m различных значений (многозначная).
При a иррациональном или комплексном f(z) принимает бесконечное число значений (многозначная).
1i=eiLn1= ei(ln|1|+i2pk)= e-2pk, k=0, ±1, ±2....
Тригонометрические функции являются бесконечнолистными периодическими функциями.
§15. Ряд Лорана.
cn(z-z0)n=
cn(z-z0)n+
=P(z)+Q(z). P(z) называется правильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z)ÎC¥(|z-z0|<R1), Q(z)-? 1/(z-z0)=x; Q(z)®`Q(x)=
c-nxnÎC¥(|x|<1/R2), где мы обозначили через 1/R2 радиус сходимости полученного степенного ряда (т.е. |z-z0|>R2). При R2<R1 существует общая область сходимости- круговое кольцо R2<|z-z0|<R1.
Следствия теоремы Абеля:
1. cn(z-z0)nÎC¥(R2<|z-z0|<R1).
2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также ÎC¥(R2<|z-z0|<R1).
3. R1 определяется через {cn}¥n=0: R1=1/L1, L1= или
, а R2-через {c-n}¥n=1 : R2=
, или R2=
(а не L2).
4. Коэффициенты ряда Лорана cn через значения суммы ряда в точке z0 не определяются! В точке z0 сумма ряда Лорана не определена!
Теорема 15.1 Если f(z) ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= cn(z-z0)n.
Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца:
(R2<|z-z0|<R1) и построим окружности CR'1 : |x-z0|=R’1 и CR'2 : |x-z0|=R’2, с центром в точке z0 и радиусами R'1 и R'2 : R2<R'2<|z-z0|<R'1<R1. По формуле Коши для многосвязной области
f(z)= +
=P(z)+Q(z).
На окружности CR'1: |x-z0|=R’1 выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде
1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]= и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на CR (см. доказательство теоремы Тейлора), получим
P(z)= cn(z-z0)n, где cn=
, n³0.
На окружности CR'2: |x-z0|=R’2 выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде
1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]=
В результате почленного интегрирования этого ряда получим:
Q(z)= , n>0, где c-n=
. Изменив направление интегрирования, получим: c-n=
, n>0. Подынтегральные функции в выражениях для cn и c-n являются аналитическими в круговом кольце R2<|z-z0|<R1. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение cn=
, n=0,±1, ±2,…,
где C- произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2<|z-z0|<R1 и содержащий точку z0 внутри. Для f(z) окончательно можно записать:
f(z)= cn(z-z0)n+
=
cn(z-z0)n, где cn=
. Т.к. z-произвольная точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 => ряд
cn(z-z0)n сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце
R2<R'2£|z-z0|£R'1<R1 ряд сходится к f(z) равномерно.
Докажем единственность. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= c'n(z-z0)n, где хотя бы один коэффициент c'n¹cn. Тогда всюду внутри кольца R2<|z-z0|<R1 имеет место равенство:
c'n(z-z0)n=
c'n(z-z0)n. Проведем окружность CR, радиуса R, R2<R<R1, с центром в точке z0. Тогда ряды
c'n(z-z0)n и
c'n(z-z0)n сходятся на CR равномерно. Умножим оба ряда на (z-z0)-m-1, где m- произвольное фиксированное целое число и проинтегрируем почленно. Рассмотрим
. Положив z-z0=Reij., получим
=
= .=> после почленного интегрирования слева и справа останется по одному слагаемому, значит для произвольного целого m c'm=cm, n
Точной областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо
R2<|z-z0|<R1, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой (к функции) сходится данный ряд. (см. Теорему 13.1).
§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.
Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)), а точка z0 является особой точкой функции f(z).
Другими словами, точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z0, в которой нет других особых точек.
Пример неизолированной особой точки.
![]() | ![]() | ||
z0 – предельная (точка сгущения) точка нулей знаменателя – неизолированная особая точка.
В самой точке z0 функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце
0<|z-z0|<r(z0). Поведение функции f(z) в окрестности точки z0 определяется главной частью ряда Лорана Q(z)= .
Важное замечание В малойокрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана.
Возможны три случая:
a) Для "n>0 c-n=0; Q(z)=0; f(z)®c0 при z®z0 (остальные члены разложения равны 0)- устранимая особая точка. Если функция не определена в точке z0 или ее значение не совпадает с c0, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z0)=c0 – тем самым мы устраним разрыв функции. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z0|<r(z0): |f(z)|<M и f(z)=(z-z0)mj(z), m³0- целое, j(z0)¹0; и если f(z)=0, то z0- нуль m- того порядка.
Пример устранимой особой точки.
![]() | ![]() | ||
![]() |
"n>0 c-n=0 Q(z)=0
Теорема 16.1 Если f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)) (т.е. z0- особая точка функции f(z)) и |f(z)|<M при 0<|z-с|<r(z0), то z0- устранимая особая точка.
Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c-n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z0 и радиуса r
: |x-z0|=r. Тогда, сделав замену x-z0=reij, dx=ireijdj и учтя, что |einj|=1, получим оценку: |c-n|<rMrn-1®0 при r®0. Т.к. значения c-n не зависят от r, то c-n=0. n
b) Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями;
Q(z)= ; c-m¹0. f(z)®¥ при z®z0- полюс порядка m,
f(z)= ; y(z)- аналитическая функция и y(z0)¹0. Для функции y(z) главная часть разложения в ряд Лорана будет иметь вид:
Q(z)= ;т.е. членов с отрицательными степенями нет.
Пример полюса m-того порядка.
![]() |
Теорема 16.2 Если f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)), z0- изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>¥ при z®z0 (независимо от способа стремления z к z0), то z0- полюс f(z).
Доказательство. |f(z)|=>¥ при z®z0 => для "A>0 $e: 0<|z-z0|<e, |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z)ÎC¥(0<|z-z0|<e); |g(z)|<1/A=M => z0- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) и g(z)→0 при z→z0 => g(z)=(z-z0)mj(z), m³0 =>
=>f(z)= ; y(z0)¹0 n.
Замечание. Точка z0, являющаяся нулем порядка m для функции f(z), является полюсом того же порядка m для функции g(z)=1/f(z)
c) Точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z0). (Бесконечное число коэффициентов c-n¹0). f(z) – не существует. Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e>0, в "h- окрестности существенно особой точки z0 0<|z-z0|<h $ z1: |f(z1)-B|<e.
Доказательство. (От противного) Пусть $ такие e0 и h0: для "z 0<|z-z0|<h0;
|f(z)-B|>e0 для заданного B. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/e0=M. => z0- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) => g(z)=(z-z0)mj(z), m³0 => f(z)=B+ ; y(z0)¹0 => z0- полюс f(z) m¹0, или правильная точка при m=0. Т.е. в разложении в ряд Лорана в окрестности точки z0 – конечное число членов с отрицательными степенями. Получили противоречие. n
Замечание 1. {hn}®0 =>{z(n)1}®z0. {f(z(n)1)}®B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z(n)1}®z0 такую, что {f(z(n)1)} сходится к " наперед заданному числу.
Замечание 2 В окрестности существенно особой точки z 0, если f(z)≠0 для функции g(z)=1/f(z) точка z 0тоже является существенно особой точкой
Пример. f(z)=e1/z точка z=0 - существенно особая.
Соберем вместе вышеизложенные факты. Получим:
Классификация изолированных особых точек на языке пределов.
Пусть z0- изолированная особая точка f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)).
a) Если при z из окрестности 0<|z-z0|<r(z0) и при z®z0 f(z)®c0 |c0|<¥, то z0 - устранимая особая точка f(z).
b) Если при z из окрестности 0<|z-z0|<r(z0) и при z®z0 f(z)®¥, то z0 - полюс f(z).
c) Если при z из окрестности 0<|z-z0|<r(z0) и при z®z0 f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z0 - существенно особая точка f(z).
Определение. z¥ является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если $R>0: для "z: |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.
Ряд Лорана: f(z)= cnzn, R<|z|<¥.
a) z¥ называется устранимой особой точкой f(z), если все cn=0 при n>0 f(z)= cnzn, или $ конечный предел f(z) при z®¥. Если c0=c1=…=c-m+1=0, c-m≠0, то бесконечно удаленная точка является нулем m-того порядка функции f(z)
b) z¥ называется полюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z¥ содержит конечное число членов с положительными степенями f(z)= cnzn, (m>0) или f(z)®¥ при z®¥.
c) Точка z¥ называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z¥ содержит бесконечно много членов с положительными степенями z: f(z)= cnzn, или при z®¥ f(z) не имеет конечного или бесконечного предела. Т.е. в зависимости от выбора последовательности zn, можно получить последовательность f(zn), сходящуюся к любому наперед заданному пределу.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1014 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!