Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Классификация изолированных особых точек на языке пределов

Примеры.

1. f(z)= (-1)nz2n= (-z2)n=1/(1+z2); Как легко показать, ряд сходится при | z|<1. Сумма ряда – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Особые точки суммы ряда очевидно z1,2=±i. Отсюда понятно, почему разложение функции f(x)= 1/(1+x2) в степенной ряд в окрестности точки x=0 абсолютно сходится только при -1<x<1 и расходится при |x|≥1, хотя эта функция при "x обладает непрерывными и ограниченными производными " порядка.

2. Степенной ряд, сумма которого имеет счетное, всюду плотное

множество особых точек на границе своего круга сходимости.

- сходится при |z|<1 (по формуле Коши- Адамара).

При z=1 ряд расходится. Рассмотрим точки , |zk,m|=1;

k-фиксировано, m=0,1,2....; m=0, zk,0=1; m=2k, =1, при m=1,...,2k-1 точки делят окружность единичного радиуса на 2k частей.

и при n³k =1=> в этих точках ряд расходится. При k®¥ точки zk,m всюду плотно расположены на единичной окружности => Сумма ряда имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе единичного круга (т.е. в любой ϵ-окрестности каждой точки границы |z|=1 найдутся особые точки) => Эту аналитическую функцию нельзя аналитически продолжить за границу единичного круга!!. (Т.к. в " точке z: |z|<1 радиус круга сходимости степенного ряда будет не больше расстояния до границы единичного круга. По следствию к теореме 13.1.

3. Рассмотрим ряд

По формуле Коши-Адамара, данный ряд сходится в любой точке |z|<1 к (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Вне круга сходимости ряд расходится. Построим разложение f(z) в степенной ряд с центром в т.z0= -0,9:

В нашем случае f(z)= Круг сходимости Ряд сходится внутри круга сходимости к . Т.е. круг сходимости выходит за пределы первоначального круга |z|<1.

Взяв в качестве нового центра разложения точку z1 внутри круга |z-z0|<|1-z0|, получим ряд , сходящийся внутри круга |z-z1|<|1-z1|

Ряд сходятся к функциям . Отметим, что при любом выборе центра разложения, граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку z=1. Тем самым можно построить аналитическое продолжение f(z) на всю комплексную плоскость за исключением точки z=1. При этом, полученное с помощью рядов аналитическое продолжение будет - определенная и аналитическая на всей комплексной плоскости, кроме точки z=1. Хотя и имеют место многочисленные взаимные наложения построенной цепочки областей, полученная аналитическая функция является однозначной во всей области своего определения.

4. Пусть f(z) является аналитической функцией в области g. И пусть точка z0 является достижимой граничной точкой. Будет ли z0- особой точкой f(z).

Теорема Принсгейма. Если и Recn≥0 – то точка z=1 – особая точка функции

Теорема Фабри. Если то точка z=1 – особая точка функции

Эти теоремы выходят за рамки нашего курса, поэтому даются без доказательств.

п.3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.

Теорема 13.2

Пусть fi(z)ÎC¥(gi), i=1,2 и fi(z)ÎC (gi+G) и f1|G= f2|G. Тогда

F(z)= ÎC¥(g=g1+g2+G).

Доказательство. Достаточно показать, что "z0ÎG является правильной точкой F(z) (кроме может быть концевых точек G). Возьмем "z0ÎG и построим C=C1(Ìg1)+C2(Ìg2); CÌg- кусочно- гладкие. Рассмотрим интеграл типа Коши

F(z)= ÎC¥(g'Ìg). Поскольку при zÏC F(z) непрерывна на C, то z0- правильная точка F(z).Пусть z1Îg'1. Тогда F(z1)= + + . Второе слагаемое равно 0 т.к. z1Îg'1. => F(z1)=F(z1). Аналогично получим, что при z2Îg'2 F(z2)=F(z2). По непрерывности получим, что F(z0)=F(z0) => z0ÎG является правильной точкой F(z). n

Построенная функция F(z) является аналитическим продолжением функции f1(z) в область g.

§14. Аналитическое продолжение с действительной оси.

п.1. Элементарные функции комплексной переменной.

Пусть [a,b]Ìg комплексной плоскости z. Тогда в силу теоремы единственности определенной аналитической функции в g может $! функция f(z)ÎC¥(g), принимающая заданные значения f(x) на xÎ[a,b]. Если такая f(z) $, то она называется аналитическим продолжением в комплексную плоскость функции действительной переменной, заданной на действительной оси. f(x)- вообще говоря, комплексная функция действительной переменной. Причем в силу свойств аналитической функции f(x) должна быть бесконечно дифференцируема по x!!.

Элементарные функции действительной переменной.

sin x= ; cos x= ; ex= - сходятся для "x

Целые функции (область сходимости – вся комплексная плоскость) , , - единственные аналитические продолжения sin x, cos x, ex на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется формула Эйлера: eiz=cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.

п.2. Аналитическое продолжение соотношений.

Перейдем к рассмотрению дальнейших следствий из теоремы о единственности определения аналитической функции. Эта теорема позволяет не только строить аналитические продолжения элементарных функций действительной переменной, но и аналитически продолжать в комплексную область соотношения.

Определение. Функция комплексных переменных F(w1,w2,…,wn), wiÎDi, называется аналитической функцией многих переменных, если F и ∂F/∂wi непрерывны по совокупности переменных w1,w2,…,wn.

Определение. Функция комплексных переменных F(z1,z2,…,zn), ziÎDi, называется аналитической функцией каждой из переменных, если соответствующая функция Фi(zi)=F(z10, …,zi-10,zi, zi+10,…zn0) одной переменной zi является аналитической функцией данной переменной. Тогда

Теорема 14.1 Пусть функции wi=fi(z)ÎC¥(g) и [a,b]Ìg, wiÎDi. И пусть F(z)=F[w1,..., wn] является аналитической функцией каждой из переменных wiÎDi. Тогда из соотношения F[f1(x),...,fn(x)]=0, xÎ[a,b] =>F[f1(z),...,fn(z)]º0, zÎg.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что F(z)ÎC¥(g). Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное.

DF=F[f1(z+Dz),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z)]=F[f1(z+Dz),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z+Dz)]+ +F[f1(z),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z)]= т.к. частные производные F существуют и непрерывны= =>$ , Ф’(z)-непрерывна =>F(z)ÎC¥(g) n.

Примеры.

1. Из известного соотношения eix=cos x+ isin x => eiz=cos z+ isin z

2. sin2x+cos2x=1 => sin2z+cos2z=1, причем |cos z| и |sin z| по Теореме Лиувилля неограниченны на всей комплексной плоскости.

3. ; elnx=x, x>0. В области D0 рассмотрим неопределенный интеграл f(z)= ; 1/xÎC¥(x¹0). Интеграл по " пути, (не пересекающему разрез!) $ и f(z)ÎC¥(D0)- аналитическое продолжение

ln x (x>0). Если сохранить старое обозначение, то lnz= , zÎC¥(D0). По теореме 14.1 eln z=z, " zÎD0. lnz – главное значение логарифма

Теорема 14.2 Пусть функции wi=fi(z)ÎC¥(gi) и [ai,bi]Ìgi, wiÎDi. И пусть F(z1,…,zn)=F[w1,..., wn] является аналитической функцией каждой из переменных wiÎDi. Тогда из соотношения F[f1(x1),...,fn(xn)]=0, xiÎ[ai,bi] (*) =>F[f1(z1),...,fn(zn)]=0, ziÎgi.

Доказательство. Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное. Фиксируем x20Î[a2,b2] и рассмотрим F1(z1)=F[f1(z1),f2(x20)]ÎC¥(g1). По теореме 14.1 из (*) => F1(z1)º0, z1Îg1. Т.к. x20- произвольное, то => F[f1(z1),f2(x2)]=0, z1Îg1, x2Î[a2,b2] (**). Фиксируем z10Îg1 и рассмотрим F2(z2)=F[f1(z10),f2(z2)]ÎC¥(g2). Из (**)=>F2(z2)º0, z2Îg2 => F[f1(z10),f2(z2)]=0, z2Îg2 Т.к. z10- любое из g1 то F[f1(z1),f2(z2)]=0, z1Îg1, z2Îg2. n

Примеры.

1. sin(z1+z2)=sinz1cosz2+cosz1sinz2 "z1,z2 и другие тригонометрические формулы для функций разных аргументов.

2. w=f(z)=ez- аналитическое продолжение ex на всю комплексную

плоскость. Т.к. ex1+x2= ex1 ex2=> ez1+z2= ez1 ez2, в частности ez=ex+iy=ex eiy=w => =>|w|=ex, arg w=y - показательная функция w= ez производит отображение прямой y=y0 на плоскости z на луч arg w=y0 на плоскости w.

Обратная функция z=lnw=x+iy=ln|w|+iarg w.

п.3. Понятие Римановой поверхности

Пусть f1(z)ÎC¥(g1) и g1Çg2=g12È g21¹Æ и пусть f2(z)ÎC¥(g2), причем f2(z)ºf1(z), zÎg12, но f2(z)≠f1(z) при zÎg21,. Тогда мы получаем двузначную аналитическую функцию F(z)= ÎC¥(g). Значит придется сталкиваться с выбором значения функции в точках многозначности. Для удобства выбора этих значений часто пользуются понятием ветви аналитической функции, являющейся однозначной и непрерывной функцией в соответствующей части области определения функции F(z). Однако, иногда удобнее оказывается иное представление, позволяющее рассматривать функцию как однозначную, но определенную на более сложном многообразии, чем обычная плоскость комплексной переменной. Так в нашем примере склеим области g1 и g2 по общей области g12, в которой f1(z) и f2(z) совпадают, а два экземпляра g21 оставлены свободными. Построенное таким образом многообразие называется римановой поверхностью аналитической функции, а отдельные экземпляры повторяющихся областей – различными листами римановой поверхности.

Примеры.

1. w=f(z)=ez. Полоса g0(-p<Imz<p)«D0(-p<arg w<p)- плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси, причем граничной прямой Imz=-p соответствует нижний берег разреза, а прямой Imz=p- верхний берег разреза.

Аналогично, g1(p<Imz<3p)«D1(p<arg w<3p). Чтобы при непрерывном переходе точки z из g0 в g1 через Imz=p образ этой точки непрерывно переходил из D0 в D1 надо склеить берега разрезов, соответствующие общему значению arg w=p. Получим новое геометрическое многообразие - двулистную Риманову поверхность, состоящую из листов D0 и D1.

Аналогично gn((2n-1)p<Imz<(2n+1)p)«Dn((2n-1)p<arg w<(2n+1)p). Полная комплексная плоскость z «бесконечнолистную Риманову поверхность, склеенную из листов Dn, причем лист Dn склеен с листами Dn+1 и Dn-1 по берегам разрезов на которых arg w принимает одинаковые значения. На этой Римановой поверхности определена обратная функция z=Ln w =ln|w|+iArg w, -¥<Arg w<¥.

На обычной комплексной плоскости w функция z=Ln w является бесконечнозначной (многозначной). На каждом листе- определенная ветвь lnn w. w=ez=eLnw. Функция w=ez - периодическая с минимальным периодом 2pi: ez= ez+2pi. ez- бескончнолистная (многолистная).

п.4. Понятие точки ветвления.

1. w=f(z)=ez. Особая роль точки w=0.

При обходе точки w0¹0 по достаточно малому замкнутому контуру, мы все время остаемся на одном и том же листе Dn, или возвращаемся на этот лист, дважды пересекая разрез, заходя на Dn-1(Dn+1). При этом, после обхода значение lnn w не изменится.

При обходе точки w=0 мы пересечем разрез только один раз и с одной ветви lnn w (lnn w0 = ln |w0|+i arg w0, (2n-1)p<arg w0<(2n+1)p) перейдем надругую ветвь lnn-1 w (lnn-1 w0 = ln |w0|+i arg w0, (2n-3)p<arg w0<(2n-1)p). Точка w=0 - точка ветвления функции z=Ln w. Причем для Ln w точка w=0- точка ветвления бесконечного порядка.

Аналогичными свойствами обладает бесконечно удаленная точка w=w¥. Напомним еще раз определение точки ветвления:

Определение. Если для точки z0 можно указать такую e-окрестность, что при однократном обходе точки z0 по " замкнутому контуру Ì этой e-окрестности, происходит переход с одной ветви многозначной функции на другую, то точка z0 называется точкой ветвления (разветвления) данной многозначной функции.

В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как отдельные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются.

  1. Для функций w=f1(z)= и w=f2(z)= точки z=0 и точки z=±1 соответственно являются точками ветвления второго порядка (Разобрать самостоятельно!).
  2. f(z)=za, где a- " число, действительное или комплексное.

f(z)=eaLnz= ea(ln|z|+iArg z).

При a=n: ein(arg z+2pk)= ein arg z => f(z)- однозначная (но многолистная, n-листная.).

При a=n/m - f(z) принимает m различных значений (многозначная).

При a иррациональном или комплексном f(z) принимает бесконечное число значений (многозначная).

1i=eiLn1= ei(ln|1|+i2pk)= e-2pk, k=0, ±1, ±2....

Тригонометрические функции являются бесконечнолистными периодическими функциями.

§15. Ряд Лорана.

cn(z-z0)n= cn(z-z0)n+ =P(z)+Q(z). P(z) называется правильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z)ÎC¥(|z-z0|<R1), Q(z)-? 1/(z-z0)=x; Q(z)®`Q(x)= c-nxnÎC¥(|x|<1/R2), где мы обозначили через 1/R2 радиус сходимости полученного степенного ряда (т.е. |z-z0|>R2). При R2<R1 существует общая область сходимости- круговое кольцо R2<|z-z0|<R1.

Следствия теоремы Абеля:

1. cn(z-z0)nÎC¥(R2<|z-z0|<R1).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также ÎC¥(R2<|z-z0|<R1).

3. R1 определяется через {cn}¥n=0: R1=1/L1, L1= или , а R2-через {c-n}¥n=1 : R2= , или R2= (а не L2).

4. Коэффициенты ряда Лорана cn через значения суммы ряда в точке z0 не определяются! В точке z0 сумма ряда Лорана не определена!

Теорема 15.1 Если f(z) ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= cn(z-z0)n.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца:

(R2<|z-z0|<R1) и построим окружности CR'1 : |x-z0|=R’1 и CR'2 : |x-z0|=R’2, с центром в точке z0 и радиусами R'1 и R'2 : R2<R'2<|z-z0|<R'1<R1. По формуле Коши для многосвязной области

f(z)= + =P(z)+Q(z).

На окружности CR'1: |x-z0|=R’1 выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде

1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]= и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на CR (см. доказательство теоремы Тейлора), получим

P(z)= cn(z-z0)n, где cn= , n³0.

На окружности CR'2: |x-z0|=R’2 выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде

1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]=

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

Q(z)= , n>0, где c-n= . Изменив направление интегрирования, получим: c-n= , n>0. Подынтегральные функции в выражениях для cn и c-n являются аналитическими в круговом кольце R2<|z-z0|<R1. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение cn= , n=0,±1, ±2,…,

где C- произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2<|z-z0|<R1 и содержащий точку z0 внутри. Для f(z) окончательно можно записать:

f(z)= cn(z-z0)n+ = cn(z-z0)n, где cn= . Т.к. z-произвольная точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 => ряд cn(z-z0)n сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце

R2<R'2£|z-z0|£R'1<R1 ряд сходится к f(z) равномерно.

Докажем единственность. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= c'n(z-z0)n, где хотя бы один коэффициент c'n¹cn. Тогда всюду внутри кольца R2<|z-z0|<R1 имеет место равенство: c'n(z-z0)n= c'n(z-z0)n. Проведем окружность CR, радиуса R, R2<R<R1, с центром в точке z0. Тогда ряды c'n(z-z0)n и c'n(z-z0)n сходятся на CR равномерно. Умножим оба ряда на (z-z0)-m-1, где m- произвольное фиксированное целое число и проинтегрируем почленно. Рассмотрим . Положив z-z0=Reij., получим =

= .=> после почленного интегрирования слева и справа останется по одному слагаемому, значит для произвольного целого m c'm=cm, n

Точной областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо

R2<|z-z0|<R1, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой (к функции) сходится данный ряд. (см. Теорему 13.1).

§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.

Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)), а точка z0 является особой точкой функции f(z).

Другими словами, точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z0, в которой нет других особых точек.

Пример неизолированной особой точки.

       
   
 


z0 – предельная (точка сгущения) точка нулей знаменателя – неизолированная особая точка.

В самой точке z0 функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце

0<|z-z0|<r(z0). Поведение функции f(z) в окрестности точки z0 определяется главной частью ряда Лорана Q(z)= .

Важное замечание В малойокрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана.

Возможны три случая:

a) Для "n>0 c-n=0; Q(z)=0; f(z)®c0 при z®z0 (остальные члены разложения равны 0)- устранимая особая точка. Если функция не определена в точке z0 или ее значение не совпадает с c0, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z0)=c0 – тем самым мы устраним разрыв функции. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z0|<r(z0): |f(z)|<M и f(z)=(z-z0)mj(z), m³0- целое, j(z0)¹0; и если f(z)=0, то z0- нуль m- того порядка.

Пример устранимой особой точки.

       
   
 


 
 


"n>0 c-n=0 Q(z)=0

Теорема 16.1 Если f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)) (т.е. z0- особая точка функции f(z)) и |f(z)|<M при 0<|z-с|<r(z0), то z0- устранимая особая точка.

Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c-n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z0 и радиуса r

: |x-z0|=r. Тогда, сделав замену x-z0=reij, dx=ireijdj и учтя, что |einj|=1, получим оценку: |c-n|<rMrn-1®0 при r®0. Т.к. значения c-n не зависят от r, то c-n=0. n

b) Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями;

Q(z)= ; c-m¹0. f(z)®¥ при z®z0- полюс порядка m,

f(z)= ; y(z)- аналитическая функция и y(z0)¹0. Для функции y(z) главная часть разложения в ряд Лорана будет иметь вид:

Q(z)= ;т.е. членов с отрицательными степенями нет.

Пример полюса m-того порядка.

 
 


Теорема 16.2 Если f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)), z0- изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>¥ при z®z0 (независимо от способа стремления z к z0), то z0- полюс f(z).

Доказательство. |f(z)|=>¥ при z®z0 => для "A>0 $e: 0<|z-z0|<e, |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z)ÎC¥(0<|z-z0|<e); |g(z)|<1/A=M => z0- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) и g(z)→0 при z→z0 => g(z)=(z-z0)mj(z), m³0 =>

=>f(z)= ; y(z0)¹0 n.

Замечание. Точка z0, являющаяся нулем порядка m для функции f(z), является полюсом того же порядка m для функции g(z)=1/f(z)

c) Точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z0). (Бесконечное число коэффициентов c-n¹0). f(z) – не существует. Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e>0, в "h- окрестности существенно особой точки z0 0<|z-z0|<h $ z1: |f(z1)-B|<e.

Доказательство. (От противного) Пусть $ такие e0 и h0: для "z 0<|z-z0|<h0;

|f(z)-B|>e0 для заданного B. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/e0=M. => z0- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) => g(z)=(z-z0)mj(z), m³0 => f(z)=B+ ; y(z0)¹0 => z0- полюс f(z) m¹0, или правильная точка при m=0. Т.е. в разложении в ряд Лорана в окрестности точки z0 – конечное число членов с отрицательными степенями. Получили противоречие. n

Замечание 1. {hn}®0 =>{z(n)1}®z0. {f(z(n)1)}®B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z(n)1}®z0 такую, что {f(z(n)1)} сходится к " наперед заданному числу.

Замечание 2 В окрестности существенно особой точки z 0, если f(z)≠0 для функции g(z)=1/f(z) точка z 0тоже является существенно особой точкой

Пример. f(z)=e1/z точка z=0 - существенно особая.

Соберем вместе вышеизложенные факты. Получим:

Классификация изолированных особых точек на языке пределов.

Пусть z0- изолированная особая точка f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)).

a) Если при z из окрестности 0<|z-z0|<r(z0) и при z®z0 f(z)®c0 |c0|<¥, то z0 - устранимая особая точка f(z).

b) Если при z из окрестности 0<|z-z0|<r(z0) и при z®z0 f(z)®¥, то z0 - полюс f(z).

c) Если при z из окрестности 0<|z-z0|<r(z0) и при z®z0 f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z0 - существенно особая точка f(z).

Определение. z¥ является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если $R>0: для "z: |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.

Ряд Лорана: f(z)= cnzn, R<|z|<¥.

a) z¥ называется устранимой особой точкой f(z), если все cn=0 при n>0 f(z)= cnzn, или $ конечный предел f(z) при z®¥. Если c0=c1=…=c-m+1=0, c-m≠0, то бесконечно удаленная точка является нулем m-того порядка функции f(z)

b) z¥ называется полюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z¥ содержит конечное число членов с положительными степенями f(z)= cnzn, (m>0) или f(z)®¥ при z®¥.

c) Точка z¥ называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z¥ содержит бесконечно много членов с положительными степенями z: f(z)= cnzn, или при z®¥ f(z) не имеет конечного или бесконечного предела. Т.е. в зависимости от выбора последовательности zn, можно получить последовательность f(zn), сходящуюся к любому наперед заданному пределу.


Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1011 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...