Задачи для самостоятельного решения. 1. Построение моделей задач линейного программирования.

1. Построение моделей задач линейного программирования.

Процесс построения экономико-математической модели задачи начинается с разбора описанной в условии экономической ситуации. Для этого необходимо, с точки зрения экономики ответить на следующие вопросы:

· Что является искомыми величинами задачи?

· Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т. д.? В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к максимуму или к минимуму) для достижения наилучших результатов?

· Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т. д.

В задачах 1.1 – 1.30 составить экономико-математические модели задач коммерческой деятельности. Найти оптимальное решение в программных средствах МS Excel.

1.1. Для изготовления двух видов продукции Р₁ и Р₂ используют четыре вида ресурсов S₁, S₂, S₃ и S₄. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные). Прибыль, получаемая от единицы продукции Р₁ и Р₂ – 2 и 3 руб. соответственно. Составить план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Ресурс	Запас ресурса, ед.	Расход ресурса на изготовление 1 ед. продукции, ед.
Р1	Р2
S1
S2
S3		-
S4			-

1.2. Имеются два вида корма – I и II, содержащие витамины S₁, S₂ и S₃. Содержание витаминов в 1 кг каждого вида корма и их необходимый минимум приведены в таблице (цифры условные).

Витамины	Необходимый минимум, ед.	Объем витаминов в 1 кг корма, ед.
I	II
S1
S2
S3

Стоимость 1 кг корма I и II – 4 и 6 руб. соответственно. Составить минимальный по стоимости дневной рацион, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

1.3. Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м каждое. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.

1.4. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице. Составить план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не меньше, чем изделий А. Прибыль от реализации одного изделия А составляет 30 руб., изделия В – 40 руб.

Вид сырья	Расход сырья на 1 изд., кг	Общее количество сырья, кг
А	В
I
II
III

1.5. Рацион питания животных на ферме состоит из двух видов кормов – I и II. Один килограмм корма I стоит 80 руб. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 руб. и содержит: 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий: жиров - не менее 6 ед., белков – не менее 9 ед., углеводов – не менее 8 ед., нитратов – не более 16 ед.

1.6. Необходимо распилить 20 бревен длиной по 5 м каждое на бруски по 2 м и 3 м, при этом должно получиться равное количество брусков каждого размера. Составить план распила, при котором будет получено максимальное число комплектов и все бревна будут распилены (в один комплект входит по одному бруску каждого размера).

1.7. При изготовлении изделий И₁ и И₂ используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. Согласно технологическим нормам на производство единицы изделия И₁ требуется 300 станко-часов токарного и 200 станко-часов фрезерного оборудования, а также 10 кг стали и 20 кг цветных металлов. Для производства единицы изделия И₂ требуется соответственно 400, 100, 70 и 50 единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 станко-часами токарного и 6800 станко-часами фрезерного оборудования, 640 кг стали и 840 кг цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия И₁ составляет 6 руб., от единицы изделия И₂ – 16 руб. Составить план производства изделий И₁ и И₂ с максимальной прибылью, учитывая, что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.

1.8. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человека должен в сутки потреблять белков не менее 120 усл. ед., жиров – не менее 70 усл. ед. и витаминов – не менее 10 усл. ед. Их содержание в каждой единице продуктов равно: П₁ – 0,2; 0,075; 0 усл. ед., П₂ – 0,1; 0,1; 0,1 усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта П₁ – 2 руб., П₂ – 3 руб. Требуется организовать питание человека так, чтобы стоимость продуктов была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

1.9. В районе лесного массива имеютсялесопильный завод и фанерная фабрика. Чтобы получить 2.5 м³ коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо расходовать 2,5 м³ еловых и 7,5 м³ пихтовых лесоматериалов. Для приготовления листов фанеры по 100 м² требуется 5 м³ еловых и 10 м³ пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м³ еловых и 180 м³ пихтовых лесоматериалов. Согласно условиям поставок в течение планируемого периода необходимо сделать по крайней мере 10 м³ пиломатериалов и 1200 м³ фанеры. Доход с 1 м³ пиломатериалов составляет 160 руб., а со 100 м³ фанеры - 600 руб. Найти оптимальный план производства пиломатериалов и фанеры, при котором прибыль будет наибольшей.

1.10. Ежедневно в ресторане заказывают фирменный коктейль (порция составляет 0,33 л) в среднем 600 чел. Предполагается, что в ближайшее время их количество увеличится в среднем на 50 чел. Согласно рецепту в составе коктейля должно быть:

· не менее 20%, но не более 35% спирта;

· не менее 2% сахара;

· не более 5% примесей;

· не более 76% воды;

· не менее 7% и не более 12% сока.

В таблице указан процентный состав напитков, из которых смешивается коктейль, и количество, которое ресторан может ежедневно выделить на приготовление коктейля.

Напиток	Состав, %	Количество, л/сут.
спирт	вода	сахар	примеси
Водка
Вино
Сок

Построить модель, на основании которой можно будет определить, хватит ли ресторану имеющихся ежедневных запасов напитков для удовлетворения возросшего спроса на коктейль.

1.11. Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера: С₁, С₂, С₃ и С₄. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 260 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики: S₁, S₂ и S₃, мощности которых соответственно 160, 160 и 270 тыс. т в месяц. Транспортные затраты на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрику указаны в таблице.

Карьер	Транспортные расходы, тыс. руб. / тыс. т
S1	S1	S2
C1
C2
C3
C4

Определить план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки. (Открытая модель.)

1.12. Фирма по прокату автомобилей «Золотое кольцо России» собирает заявки на аренду во всех городах центра России. Клиент имеет возможность получить автомобиль в любом удобном для него населенном пункте и оставить его в любом месте, где он заканчивает путешествие, в том числе и в своем родном городе. Работники фирмы забирают оставленные автомобили и перегоняют их для передачи новым клиентам. Сейчас 4 автомобиля компании оставлены в Клину, 3 - в Ростове Великом, 6 - в Ярославле и 1 - в Серпухове. Имеются заказы на 5 автомобилей во Владимире, на 3 автомобиля в Санкт-Петербурге и на 6 автомобилей в Москве. Найти план, по которому лучше перегнать автомобили новым клиентам. Минимальные расстояния (км), которые пройдут все перегоняемые автомобили, представлены в таблице.

Место отправки	Владимир	Санкт-Петербург	Москва
Клин
Ростов
Ярославль
Серпухов

1.13. Лесничество имеет 24 га свободной земли под паром и заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать саженцы быстрорастущего гибрида новогодней ели, которые достигают нужных размеров за один год, или бычков, отводя часть земли под пастбище. Деревья продаются партиями по 1000 шт. в каждой. Требуется 1,5 га для выращивания одной партии деревьев и 4 га – вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 ч в год на свое побочное производство. Практика показывает, что требуется 20 ч для ухода за одной партией деревьев и 20 ч на уход за одним бычком. Лесничество может израсходовать на эти цели 6000 руб. Годовые издержки составляют: на одну партию деревьев 150 руб., на одного бычка 1200 руб. Уже заключен контракт на поставку 2 бычков. Одна новогодняя ель принесет чистый доход в 2.5 руб., один бычок – 5000 руб. Определить оптимальное число новогодних елей и бычков, которое необходимо вырастить, чтобы лесничество получило наибольшую прибыль от их продаж.

1.14. Пилорама производит два вида продукции: обрезную доску и брус. Для изготовления 1 м³ бруса требуется 2,5 м³ сосны или 3 м³ ели, для изготовления 1 м³ доски – 3 м³ сосны или 3,5 м³ ели. Максимальные суточные запасы сосны – 200 м³, ели – 300 м³. Суточный спрос на брус – 100 м³, на доску – 150 м³ при оптовых ценах за 1 м³ бруса – 200 руб., за 1 м³ доски – 300 руб. Определить объемы выпуска бруса и доски, которые обеспечивают пилораме наибольшую прибыль.

1.15. Леспромхоз имеет древесину трех видов в количествах: 1-й вид - 1000 м³, 2-й вид – 500 м³, 3-й вид – 700 м³, для изготовления изделий A, B, C и D. Расход древесины в кубометрах на изготовление 1 ед. каждого изделия и прибыль от реализации единицы изделия даны в таблице. Определить, сколько изделий каждого вида должно произвести предприятие, чтобы общая прибыль от реализации всех изделий была максимальной.

Изделие	Расход сырья на производство 1 ед. изделия, м3	Прибыль, руб.
А	0,1	0,2	0,4
В	0,15	0,4	0,5
С	0,2	0,3	0,1
D	0,25	0,1	0,2

1.16. Производство двух видов продукции, А и В, осуществляется путем трех операций. Затраты времени на каждую операцию при производстве 1 ед. изделия и прибыль от реализации 1 ед. изделия приведены в таблице. Сколько изделий каждого вида должно произвести предприятие, чтобы получить максимум прибыли, причем число изделий А должно быть не менее 10, а изделий В – не более 70 ед.? Максимальный фонд времени на каждую операцию -600, 700 и 1300 ч соответственно.

Изделие	Затраты времени на одну операцию, ч	Прибыль, руб.
А
В

1.17. Автомобильная компания Drive подготовила к выпуску на рынок новые модели лимузина и джипа. Отдел маркетинга компании считает, что основными покупателями новой продукции станут люди с высоким уровнем доходов. Для привлечения таких клиентов компания решила провести рекламную компанию и использовать рекламу на телевидении. Рекламные ролики (продолжительностью 1 мин.) решено разместить в комедийных шоу или в спортивных передачах. Анализ аудитории показывает, что каждый рекламный ролик, размещенный в шоу, смотрят в среднем 7 млн женщин и 2 млн мужчин целевой группы. Рекламный ролик в спортивной передаче смотрят соответственно 2 млн женщин и 12 млн мужчин из целевой группы. Стоимость рекламного ролика, размещенного в шоу, составляет 50000 долл., а в спортивной передаче – 100000 долл. Отдел продаж компании утверждает, что для того чтобы продажи были успешными, рекламу должны посмотреть не менее 28 млн женщин и не менее 24 млн мужчин из целевой группы. Как руководству Drive наилучшим образом спланировать рекламную компанию?

1.18. Продовольственная компания поставляет четыре различных типа пищевых добавок для зоопарка. Цена на эти продукты равна соответственно 50, 20, 30 и 80 долл. Согласно нормативным требованиям суммарная энергетическая ценность добавок в ежедневном рационе должна быть не менее 2500 ккал, а также в рационе должно быть не менее 6 ед. витамина А, 10 ед. витамина В и 8 ед. витамина С. Вместе с полезными веществами добавки содержат примеси, количество которых ежедневно не должно превышать 5% общего количества. Энергетическая ценность и содержание витаминов и примесей в пищевых добавках указаны в таблице.

Пищевая добавка	Энергетическая ценность 1 ед., ккал	Количество витаминов в 1 ед. добавки, ед	Содержание примесей, %
А	В	С
I
II					0,5
III
IV

Компания хотела бы определить наилучшую рецептуру смеси из производимых ею пищевых добавок с учетом всех требований и с наименьшей стоимостью.

1.19. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 га, труд – 120 чел., мех. техника – 80 ед. Хозяйство выращивает четыре вида продукции: сахарную свеклу, капусту, кукурузу, картофель. Организация производства представлена в таблице.

Продукция Расход на 1 ед. продукции Доход от 1 ед. продукции, ден. ед. площадь, га труд, чел техника, ед. Сахарная свекла         Капуста         Кукуруза         Картофель

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

1.20. Цех выпускает оборудование двух видов. Для изготовления оборудования обоих видов используется железо и проволока. Общий запас железа – 3 т, проволоки – 18 т. На одну ед. оборудования первого вида расходуется 3 кг проволоки и 5 кг железа, а на ед. оборудования второго вида 2 кг проволоки и 3 кг железа. Прибыль от реализации ед. оборудования первого вида составляет 3000 ден. ед., второго – 4000 ден. ед. Составить план выпуска оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

1.21. Имеются два склада готовой продукции: А₁ и А₂ с запасами однородного груза 200 и 300 т. Этот груз необходимо доставить потребителям: В₁, В₂ и В₃ в количестве 100, 150 и 250 т соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из склада А₁ потребителям В₁, В₂ и В₃ равна 5, 3 и 6 ден. ед., а из склада А₂ тем же потребителям – 3, 4 и 2 ден. ед. соответственно. Составить план перевозок с минимальными суммарными транспортными расходами.

1.22. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательные вещества, содержащиеся во фруктах и ягодах, в количествах, указанных в таблице. Цена 1 кг фруктов – 30 руб., ягод – 40 руб.

Вещество	Содержание вещества в 1 ед. продукта, ед.	Норма потребления
фрукты	ягоды
Р1
Р2
Р3
Р4	-
Р5

Определить, какое количество фруктов и ягод необходимо купить за сезон, чтобы выполнить предприятие врача с минимальными затратами.

1.23. Требуется определить план выпуска четырех видов продукции (1, 2, 3, 4), обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации. На изготовление этой продукции расходуются трудовые ресурсы, сырье и финансы, имеющиеся в наличии в следующих количествах: 19, 80 и 100 ед. соответственно. С учетом рыночного спроса и производственно- технологических возможностей заданы предельные границы (верхняя и нижняя) выпуска каждого вида продукции. Эти границы и расход ресурсов, а также маржинальная прибыль (разность между выручкой и переменными издержками) на производство 1 ед. продукции приведены в таблице.

Вид продукции	Расход на производство 1 ед. продукции	Нижняя граница	Верхняя граница	Прибыль
трудовые ресурсы	сырье	финансы
					-

1.24. Ткань трех артикулов (1, 2, 3) производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используются пряжа и красители. В таблице указаны мощность станков (тыс. станко-ч), объем пряжи и красителей (тыс. кг), производительность станков по каждому виду ткани (м/ч), расход пряжи и краски (кг на 1000 м). Цена 1 м ткани: первого артикула – 15 ден. ед., второго – 15ден. ед., третьего – 20 ден. ед. Определить оптимальный ассортимент, дающий максимальную прибыль, если себестоимость 1 м ткани составляет соответственно для первого и второго артикула 3,5 ден. ед., для третьего – 15 ден. ед.

Ресурс	Объем ресурса	Расход ресурса по видам ткани
Станки I типа
Станки II типа
Пряжа
Красители

1.25. Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для приготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого	Запас, кг
Сливочное	Шоколадное
молоко	0,8	0,5
наполнители	0,4	0,8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более, чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного – 14 ден. ед. Определить, какое количество мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

1.26. Кондитерская фабрика производит четыре вида кондитерских изделий: вафли, шоколад, пряники и печенье. Данная продукция изготавливается в двух цехах: 1 – шоколад, 2 – выпечка (вафли, пряники и печенье). Все производство автоматизировано. В цехе 2 сотрудников больше, т. к. процесс производства более сложный и трудоемкий. Для производства всей продукции используются ресурсы трех видов: труд, сырье, оборудование. Расход ресурсов на производство 1 кг каждого вида продукции и запасы ресурсов приведены в таблице. Цена реализации 1 кг продукции: вафли – 30 руб., шоколад – 30, пряники – 28, печенье – 30 руб. Найти оптимальный план производства продукции, при котором общая стоимость ее выпуска была бы максимальной.

Ресурс	Расход ресурса на изготовление 1 кг продукции	Запас ресурса
вафли	шоколад	пряники	печенье
Труд, чел.-дн.
Сырье-сахар, кг
Оборудование, стан.-чел.

1.27. Строительной организации необходимо выполнить четыре вида земляных работ – 1, 2, 3, 4, объем которых составляет соответственно 7000, 6500, 7600, 8100 м³. Для их осуществления предполагается использовать три механизма – I, II, III. Производительность механизмов и себестоимость 1 ч работы каждого из них приведены в таблице. Составить оптимальный план организации работ с минимальными затратами на его осуществление.

Механизмы

I

II

III

Виды работ

Производительность механизма по виду работы, м3/ч

Себестоимость 1 ч работы механизма по виду работы, ден. ед.

1.28. Предприятие занимается производством вязаных изделий, которые затем реализуют. В ассортименте предприятия изделия четырех видов: свитера, пуловеры, кофточки, джемпера. Для производства продукции используются: чистая шерсть, хлопок, акрил, запасы которых составляет соответственно 13, 8, 15 кг. Прибыль от реализации готовых изделий соответственно 3, 2, 3 и 2 тыс. руб. Количество пряжи, необходимое для изготовления 10 ед. (одной партии), и общий запас пряжи приведены в таблице. Определить оптимальный план производства, обеспечивающий максимальную прибыль.

Сырье в пряже	Затраты пряжи на изготовление 10 ед. продукции, кг	Запас пряжи, кг
свитер	пуловер	кофта	джемпер
Хлопок
Акрил
Шерсть

1.29. Предприятие производит пять видов продукции из дерева: окна, подоконники, двери, евро-брус, вагонка. Для их производства используются ресурсы трех видов: труд, сырье, оборудование. Прибыль от реализации 1 ед. продукции составляет: окно – 50 руб., дверь – 30, подоконник – 20, брус – 10, вагонка – 10 руб. Найти оптимальный план производства, при котором общая прибыль была бы максимальной.

Ресурс	Расход на изготовление 1 ед. продукции	Запас ресурса
окно	дверь	подоконник	брус	вагонка
Труд чел.-дн.	3,256	2,184	1,15	1,5	0,5	510,6404
Сырье, м3	20,159	30,897	20,2	10,456	5,162	5600,25
Оборудование, стан.- ч	5,38	3,129	1,159	1,15	1,23	480,2

1.30. На швейной фабрике работают два цеха. В цехе 1 изготавливают детские костюмы, в цехе 2 – брюки. В цехе шьют шесть моделей костюмов двух прейскурантных номеров. Для их изготовления используют ткань двух артикулов. Данные о трудоемкости, расходе ткани и прибыли приведены в таблице. Располагаемый фонд рабочего времени всех рабочих мест цеха 1 – Т₁ =680700 ч, а второго Т₂ = 144576 ч. Для изготовления предприятию выделено 300000 м² ткани артикула 1 и 210000 м² ткани артикула 2. Возможности реализации костюмов прейскурантного номера S =1 модели L =3 и брюк прейскурантного номера S =1 модели L =2 из ткани артикула р =2 ограничены. Их максимальная продажа составляет соответственно 50000 и 25000 ед. Превышенным спросом пользуются костюмы прейскурантного номера S =1 модели L =1. В соответствии с заказом торгующих организаций их требуется выпускать не менее 20000 ед. Определить наилучший вариант изготовления изделий, чтобы прибыль была наибольшей.

Цех
Прейскурантный номер изделия, S
Модель, L
Артикул ткани, р
Вариант изготовления*
Трудоемкость изготовления одного изделия, ч	3,4	3,4	3,6	3,5	3,4	3,5	3,4	1,3	1,3	1,4
Расход ткани на одно изделие, м	2,7	2,7	2,6	3,2	2,7	3,1	2,1	1,1	1,1	1,1
Прибыль, ден. ед.	2,6	2,5	2,8	6,7	2,6	6,8	4,6	1,7	1,8	1,7

*Вариант изготовления продукции определяется моделью, прейскурантным номером, артикулом используемой ткани и цехом, в котором изготавливается модель.

2. Построение моделей задач динамического программирования.

В задачах ① – ③ применить принцип оптимальности Беллмана для нахождения оптимального решения.

① Завод получил 4 новых станка, которые необходимо распределить между тремя цехами. Известна дополнительная прибыль, которая получится в i -ом цехе, если туда поставят x_i станков – (x_i).

Графики функций дохода:

② Составить оптимальный план замены оборудования в течение 7 лет, при котором общая прибыль за данный период была бы максимальной. Данные о производительности оборудования, ежегодных затратах на производство и остаточной стоимости оборудования приведены в таблице.

Возраст оборудования. лет, t
Годовой выпуск продукции в стоимостном выражении, ден. ед., V(t)
Ежегодные затраты на производство, ден. ед., E(t)
Остаточная стоимость оборудования, ден. ед., S(t)	-

③ Составить оптимальный план распределения инвестиций между четырьмя предприятиями (1, 2, 3, 4), обеспечивающий максимальное увеличение выпуска продукции. Исходные данные приведены в таблице.