Расчет главной балки

В тех случаях, когда требуются конструкции, жесткость и несущая способность которых превышает возможности прокатных профилей, используются составные балки. Главную балку проектируем двутаврового симметричного сечения, сваренную из трех стальных листов (стенки и двух поясов).

Определение усилий. Расчетная схема главной балки представлена на рис. 8.3. Пролет главной балки l равен наибольшему расстоянию между колоннами L = 18 м. Расстояние между главными балками b равно шагу колонн В = 6 м.

Рис. 8.3. Расчетная схема главной балки

Сосредоточенную нагрузку, передаваемую на верхний пояс главной балки от двух балок настила, при частом расположении балок настила (а ₁ = 1,2 м) < (l /5 = 18/5 = 3,6 м) заменяем равномерно распределенной нагрузкой.

Нормативная нагрузка

q_n = b (p_n + g_n,н + g_n,бн) = 6 (14,6 + 0,707 + 0,26) = 93,4 кН/м.

Расчетная нагрузка

q = b (p_nγ_fp + g_n,нγ_fg + g_n,бнγ_fg) =

= 6 (14,6 ∙ 1,2 + 0,707 ∙ 1,05 + 0,26 ∙ 1,05) = 111,17 кН/м.

Расчетный изгибающий момент в середине пролета

Нормативный изгибающий момент

M_{n, max} = αq_nl ²/8 = 1,04 ∙ 93,4 ∙ 18² / 8 = 3934,01 кН∙м.

Расчетная поперечная сила в опорном сечении

Q _max = aql /2 = 1,04 ∙ 111,17 ∙ 18 / 2 = 1040,55 кН,

где a = 1,04 – коэффициент, учитывающий собственный вес главной балки

(предварительно принимается a = 1,02 – 1,05).

Компоновка сечения балки заключается в определении размеров элементов в пределах принятого типа сечения (рис. 8.4). Расчет производим в упругой стадии работы (балка принята 1-го класса).

Рис. 8.4. Сечение главной балки

Требуемый момент сопротивления балки, определяемый из условия прочности по нормальным напряжениям:

W_{n ,min} = M _max/(R_yγ_c) = 468248 / (24 · 1) = 19510,33 см³.

Выполняем компоновку сечения балки (W_x ≥ W_{n, min}).

Назначаем высоту сечения балки h.

Наименьшая рекомендуемая высота балки

где f_u = 4,5 см – предельный прогиб главной балки пролетом l = 18 м, определенный согласно табл. 4.2.

Оптимальная высота балки по металлоемкости

где t_w = 7 + 3 h /1000 = 7 + 3 · 1500 / 1000 = 11,5 мм ≈ 1,2 см;

h = 1,5 м – высота разрезной балки, принятая приблизительно равной h _min (обычно назначается в пределах от 1/10 до 1/13 l: при пролете l = 18 м от

1,8 до 1,4 м).

Строительная высота балки при поэтажном сопряжении

h_стр = H – (t_н + h_бн + Δ) = 210 – (0,9 + 27 + 10) = 172,1 см,

где H = 1280 – 1070 = 210 см – строительная высота перекрытия (разница в отметках верха настила рабочей площадки и верха габарита помещения, расположенного под площадкой);

Δ = f_u + (3–10 см) = 4,5 + 5,5 = 10 см.

Высота стенки h_w приблизительно равна высоте балки h, ее размеры рекомендуется увязать со стандартными размерами выпускаемых заводами листов (см. приложение 1, табл. П1.2 – П1.3). Сравнивая полученные данные, назначаем стенку высотой h_w = 1500 мм и толщиной t_w = 12 мм.

Принимаем высоту h = 1550 мм, задавшись предварительно толщиной поясов t_f = 25 мм (задается в пределах от 10 до 30 мм, но не менее толщины стенки t_w = 12 мм и не более 3 t_w = 36 мм).

Определяем требуемую толщину стенки из условия прочности на срез в опорном сечении:

t_w = kQ _max /(h_wR_sγ_c) = 1,5 · 1040,55 / (150 · 13,92 · 1) = 0,75 см,

что меньше предварительно принятой толщины стенки t_w = 1,2 см (здесь

R_s = 0,58 R_y = 0,58 ∙ 24 = 13,92 кН/см²).

Проверяем необходимость постановки продольных ребер жесткости, приняв σ = R_y = 24 кН/см²:

Оставляем без изменений толщину стенки t_w = 12 мм, она удовлетворяет условиям прочности на действие касательных напряжений и не требует укрепления стенки продольным ребром жесткости.

Требуемая площадь одного пояса

A_f = W_{n ,min}/ h_w – t_wh_w /6 = 19510,33 / 150 – 1,2 · 150 / 6 = 100,1 см².

Требуемая ширина пояса

b_f = A_f / t_f = 100,1 / 2,5 = 40,04 см.

По сортаменту (см. приложение 1, табл. П1.3) принимаем пояса сечением 420×25 мм, для которых ширина b_f находится в рекомендуемых пределах: (1/3 – 1/5) h = (52 – 31) см.

Проверяем местную устойчивость сжатого пояса, предварительно приняв σ_c = R_y = 23 кН/см²:

где b_ef = (b_f – t_w)/2 = (42 – 1,2) / 2 = 20,4 см – свес пояса.

Геометрические характеристики принятого сечения балки:

момент инерции

I_x = I_w + 2 I_f = t_wh_w ³/12 + 2 b_f t_f (h_f /2)² = 1,2 · 150³ / 12 + 2 · 42 · 2,5 (152,5 / 2)² =

= 1558453 см⁴;

момент сопротивления

статический момент половины сечения относительно нейтральной оси

площадь сечения

A = h_wt_w + 2 b_f t_f = 150 · 1,2 + 2 · 42 · 2,5 =390 см².

По найденной площади A и плотности стального проката ρ = 7850 кг/м³ определяем линейную нагрузку от собственного веса главной балки:

q_n,гб = kАρ = 1,15 · 0,039 · 7850 = 352,07 кг/м = 3,5 кН/м.

Уточняем расчетные значения изгибающего момента M и поперечной силы Q с учетом собственного веса главной балки:

нормативная нагрузка

q_n′ = q_n + q_n,гб = 93,4 + 3,5 = 96,9 кН/м;

расчетная нагрузка

q′ = q + q_n,гб γ_fg = 111,17 + 3,5 ∙ 1,05 = 114,84 кН/м;

нормативный изгибающий момент

расчетный изгибающий момент

поперечная сила

Q _max = q ′ l /2 = 114,84 ∙ 18 / 2 = 1033,59 кН.

Проверка прочности балки по нормальным напряжениям (расчетное сопротивление стали R_y = 23 кН/см² при толщине пояса t_f = 25 мм.):

Проверка прочности балки на срез по касательным напряжениям (на опоре в неизмененном сечении):

Проверка прочности стенки на местные сминающие напряжения (см. рис. 5.3):

где σ_loc = F /(l_ef t_w) = 133,44 / (17,5 · 1,2) = 6,35 кН/см²,

здесь F = 2 Q = 2 · 66,72 = 133,44 кН – расчетное значение сосредоточенной силы, равное двум реакциям от балок настила;

l_ef = b + 2 t_f = 12,5 + 2 ∙ 2,5 = 17,5 см – условная длина распределения сосредоточенной нагрузки на стенку главной балки;

b = 125 мм – ширина пояса балки настила;

t_f = 25 мм – толщина верхнего пояса главной балки.

Подобранное сечение балки удовлетворяет условиям прочности.

Изменение сечения балки по длине. Расчетный момент и перерезывающая сила на расстоянии x = l /6 = 18 / 6 = 3 м от опоры (см. рис. 5.4):

M ₁ = q ′ x (l – x)/2 = 114,84 · 3 (18 – 3) / 2 = 2583,9 кН·м;

Q ₁ = q ′(l – 2 x)/2 = 114,84 (18 – 2 ∙ 3) / 2 = 689,04 кН.

Определяем требуемые:

момент сопротивления измененного сечения, исходя из прочности сварного стыкового шва, работающего на растяжение, без физического контроля качества шва (R_wy = 0,85 R_y = 0,85 ∙ 23 = 19,55 кН/см²):

W ₁ = M ₁/(R_wyγ_c) = 258390 / (19,55 ∙ 1) = 13216,88 см³;

момент инерции

момент инерции стенки

I_w = t_wh_w ³/12 = 1,2 · 150³ / 12 = 337500 см⁴;

момент инерции пояса

площадь пояса

ширину пояса

По конструктивным требованиям ширина пояса должна отвечать условиям:

b_{f 1} ≥ b_f / 2 = 42 / 2 = 21 cм;

b_{f 1} ≥ h / 10 = 155 / 10 = 15,5 cм;

b_{f 1} ≥ 18 см.

По сортаменту принимаем измененный пояс из универсальной стали сечением 240´25 мм с площадью A_{f 1} = 60 см².

Геометрические характеристики измененного сечения балки:

момент инерции

момент сопротивления

W ₁ = 2 I ₁/ h = 2∙1035188 / 155 = 13357 см³;

статический момент пояса относительно оси х-х

S_{f 1} = b_{f 1} t_fh_f /2 = 24 ∙ 2,5 ∙ 152,5 / 2 = 4575 см³.

Проверка прочности балки в месте изменения сечения в краевом участке стенки на уровне поясных швов. Определяем (см. рис. 5.5):

нормальные напряжения

σ ₁ = M ₁(h_w / h)/ W ₁ = 258390 (150/155) / 13357 = 18,72 кН/см²;

касательные напряжения

τ ₁ = Q ₁ S_{f 1}/(I ₁ t_w) = 689,04 ∙ 4575 / (1035188 ∙ 1,2) = 2,54 кН/см².

Условие прочности

Проверка прочности балки в опорном сечении на срез по касательным напряжениям. Статический момент половины сечения относительно нейтральной оси

S_{x 1} = b_{f 1} t_fh_f /2 + t_wh_w ²/8 = 24 ∙ 2,5 ∙ 152,5 / 2 + 1,2 ∙ 150² / 8 = 7950 см³.

Производим проверку:

Проверка общей устойчивости балки:

в середине пролета

в измененном сечении балки

где l_ef = 120 cм – расстояние между точками закрепления сжатого пояса от поперечных смещений, равное шагу балок настила a ₁.

Проверка местной устойчивости элементов балки. Проверяем местную устойчивость сжатого пояса в месте максимальных нормальных напряжений (в середине пролета балки):

где σ_с = M _max/(W_xγ_c) = 465102 / (20110 ∙ 1) = 23 кН/см².

Проверка местной устойчивости стенки балки при наличии местного напряжения (σ_loc ¹ 0).

Условная гибкость стенки

следовательно, необходимы поперечные ребра жесткости, разделяющие стенку на отдельные отсеки.

Максимальное расстояние между основными поперечными ребрами жесткости при `l_w > 3,2 a ≤ 2 h_w = 2 ∙ 1,5 = 3,0 м. Расстояние между ребрами жесткости рекомендуется назначать кратным шагу балок настила а ₁ = 1,2 м. Принимаем а = 2,4 м.

Ширина выступающей части парного ребра

b_r = h_w /30 + 25 = 1500 / 30 + 25 = 75 мм.

Толщина ребра

Принимаем ребро жесткости по ГОСТ 103–76* (см. прил. 1, табл. П1.1) из двух стальных полос 75´6 мм. Ребро привариваем к стенке угловыми швами минимальной толщины k_f = 4 мм (см. табл. 3.3).

Проверяем ребро жесткости на устойчивость как центрально-сжатую стойку. В расчетное сечение стойки включаются сечение ребра жесткости и устойчивые полосы стенки шириной

c = 0,65 t_w = 0,65 · 1,2 = 22,85 см

с каждой стороны ребра, а расчетная длина стойки l_ef принимается равной высоте стенки h_w = 1500 мм (см. рис. 5.7). Определяем параметры стойки:

расчетная площадь при двустороннем ребре

A_s = (2 b_r + t_w) t_r + 2 ct_w = (2 · 7,5 + 1,2) 0,6 + 2 ∙ 22,85 ∙ 1,2) = 64,56 см²;

момент инерции сечения

I_z = t_r (2 b_r + t_w)³/12 + 2 ct_w ³/12 =

= 0,6 (2 ∙ 7,5 + 1,2)³ / 12 + 2 ∙ 22,85 ∙ 1,2³ / 12 = 219,16 см⁴;

радиус инерции

i_z = = = 1,84 см;

гибкость

λ_z = l_ef / i_z = 150 / 1,84 = 81,52;

условная гибкость

Производим проверку:

где φ = 0,687 – коэффициент устойчивости, принимаемый согласно табл. 5.6 для типа кривой устойчивости «b».

При `l_w > 2,5 требуется проверка стенки на местную устойчивость.

Местная устойчивость стенки обеспечивается во всех отсеках. В курсовой работе достаточно проверить стенку на устойчивость только в отсеке с измененным сечением балки (рис. 7.5).

Расчетное сечение в отсеке располагается на расстоянии h_w /2 от правого ребра и х от опоры:

х = а′ + а – h_w /2 = 0,6 + 2,4 – 1,5 / 2 = 2,25 м.

Рис. 8.5. К расчету местной устойчивости стенки балки

Расчетные усилия в сечении:

М = qx (l – x)/2 = 114,84 · 2,25 (18 – 2,25) / 2 = 2034,82 кН∙м;

Q = q (l /2 – x) = 114,84 (18/2 – 2,25) = 775,17 кН.

Краевое напряжение сжатия в стенке

σ = M (h_w / h)/ W ₁ = 203482 (150 / 155) /13357 = 14,74 кН/см².

Среднее касательное напряжение в отсеке

τ = Q /(h_wt_w) = 775,17 / (150 ∙ 1,2) = 4,31 кН/см².

Локальное напряжение σ_loc = 6,35 кН/см².

При отношении a / h_w = 240/150 = 1,6 > 0,8 рассматривают два случая проверки устойчивости стенки.

Первая проверка. Критическое нормальное напряжение

где c_сr = 31,8 – коэффициент, определяемый по табл. 5.2 в зависимости от

Критическое касательное напряжение

где μ = a / d = 240/150 = 1,6 – отношение большей стороны отсека a к меньшей d = h_w;

Критическое локальное напряжение

где при вычислении коэффициентов с ₁ и с ₂ при a / h_w = 1,6 > 1,33 вместо а принято а ₁ = 0,67 а = 0,67 ∙ 240 = 160,8 см, следовательно, отношение

a ₁/ h_w = 160,8 / 150 = 1,07;

ρ = 1,04 l_ef / h_w = 1,04 ∙ 17,5 / 150 = 0,12;

с ₁ = 23,36 – коэффициент, определяемый по табл. 5.3 в зависимости от a ₁/ h_w = 1,07 и ρ = 0,12;

с ₂ = 1,6 – коэффициент, определяемый по табл. 5.4 в зависимости от a ₁/ h_w = 1,07 и δ = 1,16.

Производим проверку:

Вторая проверка. Критическое нормальное напряжение

где c_cr = 62 – коэффициент, определяемый по табл. 5.5 в зависимости от a / h_w = 240 / 150 = 1,6.

Критическое локальное напряжение

где с ₁ = 17,14 – коэффициент, определяемый по табл. 5.3 в зависимости от a / h_w = 1,6 и ρ = 0,12;

с ₂ = 1,57 – коэффициент, определяемый по табл. 5.4 в зависимости от

a / h_w = 1,6 и δ = 1,16.

Критическое касательное напряжение τ_cr = 10,2 кН/см².

Производим проверку:

Стенка устойчива.