Задание 8. Найти корни многочлена на множестве комплексных чисел и разложить многочлен на множители

Найти корни многочлена на множестве комплексных чисел и разложить многочлен на множители.

Решение. Представим 1-е слагаемое многочлена в виде суммы и выполним группировку слагаемых.

Остается найти нули многочлена . Многочлен обращается в ноль, если хотя бы один их его сомножитель равен нулю.

Имеем

- нули многочлена.

Задание 9. Составить многочлен с действительными коэффициентами четвертой степени, если - два его корня.

Решение. Если многочлен с действительными коэффициентами иметь комплексный корень, то он обязательно имеет корень, комплексно сопряженный, данному. То есть комплексные корни такого многочлена обязательно имеют комплексно сопряженную пару. Таким образом, можно утверждать, что данный многочлен 4-й степени имеет следующие корни: .

Запишем многочлен в виде разложения его на множители.

Раскроем скобки и приведем подобные.

Ответ: