Интерполяционный полином Лагранжа

В наиболее общем виде задача интерполяции состоит в том, чтобы по значения функции в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках этого отрезка. Разумеется, в столь общей постановке задача имеет не единственное решение. Задача становится более определенной, если в качестве интерполирующей функции рассматривать алгебраические многочлены.

Типичная практическая задача, приводящая к необходимости построения интерполяционного многочлена, состоит в следующем. В определенных точках (узлах) заданы экспериментально измеренные значения функции ; требуется вычислить значение этой функции в некоторой «промежуточной» точке , не совпадающей ни с одним из узлов ; в частности, это может быть точка, где постановка эксперимента затруднена или вообще невозможна.

Задача интерполяции состоит в построении функции , график которой проходит через заданные точки , т. е. выполняются условия

, . (1)

Располагая непрерывной функцией , заданной аналитически, мы можем приближенно вычислить значение в любой точке . Если , то говорят об интерполяции, если же точка не принадлежит отрезку наблюдения , то говорят об экстраполяции (прогнозе).

В качестве интерполирующей функции обычно используются алгебраические многочлены. Доказано, что существует единственный интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям (1). Среди различных форм записи интерполяционного многочлена чаще всего используются запись в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Подчеркнем, что они представляют собой различную запись одного и того же многочлена, удовлетворяющего условиям интерполяции (1).

Интерполяционную формулу Ньютона можно рассматривать как разностный аналог формулы Тейлора. Ее удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та же функция, но число узлов интерполяции постепенно увеличивается. Если же узлы интерполяции фиксированы и интерполируется не одна, а несколько функций, то удобнее пользоваться формулой Лагранжа.

Рассмотрим полином Лагранжа, проходящий через точку . Он имеет вид:

, (2)

где - базисные полиномы

.

При каждом фиксированном значении коэффициенты представляют собой многочлены степени , обладающие свойством

.

В силу этого свойства, в сумме (2) при обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного значению , и график полинома (2) проходит через все заданные точки .

Приведем развернутые формулы для линейного, квадратичного и кубического полиномов Лагранжа:

, (3)

, (4)

. (5)

Для погрешности интерполяции в общем случае справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз на отрезке интерполяции , то для погрешности в точке справедливо равенство

, ,

где - - я производная интерполируемой функции , вычисленная в некоторой точке отрезка . Так как точка априори не известна, то обычно используют мажорантную оценку (оценку сверху)

, ,

и оценку максимума модуля погрешности

, (6)

или более грубую оценку

, . (7)

Приведенные оценки погрешности, что интерполяция многочленом степени имеет - й порядок точности относительно максимального шага таблицы . В частности, формулы (3) - (5) имеют второй, третий и четвертый порядки точности соответственно.

Важно помнить, что интерполяция полностью сохраняет или даже усиливает «шум» эксперимента. Поэтому операция интерполирования применяется только в тех задачах, где ошибки эксперимента малы, и ими можно пренебречь.