Элементы линейной алгебры. Вопросы для подготовки к экзамену

Вопросы для подготовки к экзамену

МТ факультет, 1 курс

Элементы линейной алгебры

1..Матрицы. Действия над матрицами.

2. Определители матриц, их свойства.

3. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

4. Системы линейных уравнений, их матричная запись.

5.Решение невырожденных систем матричным способом и методом Крамера.

6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Инвариантность ранга относительно элементарных

преобразований.

7.Теорема Кронекера-Капелли. Решение произвольных линейных систем. Метод Гаусса.

2. Векторная алгебра

1.Основные понятия векторной алгебры: вектор, модуль вектора, равные, коллинеарные и компланарные

векторы, противоположный вектор.

2. Линейные операции над векторами. Условие коллинеарности векторов.

3.Проекция вектора на ось, свойства проекций.

4.Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Теорема о единственности разложения

вектора в базисе.

6.Разложение вектора в прямоугольном декартовом базисе.

7.Линейные операции над векторами в координатной форме, условие коллинеарности векторов.

8. Деление отрезка в заданном отношении.

9.Скалярное произведение векторов: определение, свойства, физический смысл, выражение через координаты

перемножаемых векторов.

10. Направляющие косинусы вектора, их свойство.

11. Векторное произведение векторов: определение, свойства, физический смысл, выражение через координаты

перемножаемых векторов.

12.Смешанное произведение векторов: определение, геометрический смысл, выражение через координаты

перемножаемых векторов. Условие компланарности векторов.

3.Аналитическая геометрия на плоскости

1. Уравнение прямой на плоскости: 1) с заданным угловым коэффициентом; 2) проходящей через данную точку в

заданном направлении; 3) проходящей через две точки; 4) в отрезках; 5) каноническое; 6) проходящей через

данную точку перпендикулярно заданному вектору; 7)общее уравнение прямой.

2.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

3. Расстояние от точки до прямой.

4. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, исследование формы по уравнению.

5. Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.

4.Аналитическая геометрия в пространстве

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей заданный нормальный вектор; общее

уравнение плоскости; уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках.

2.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3.Расстояние от точки до плоскости.

4. Прямая в пространстве: векторное уравнение прямой; параметрические уравнения; канонические уравнения;

уравнение прямой, проходящей через две точки; общие уравнения прямой.

5.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

6.Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

7.Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости.

8. Цилиндрические поверхности второго порядка.

5.Введение в анализ

1. Числовые последовательности, предел числовой последовательности.

2. Теорема о единственности предела

3. Предел функции в точке и на бесконечности, геометрическая иллюстрация.

4. Бесконечно малые функции и их свойства

5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.

6. Теоремы о связи функции и ее предела

7. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций.

8.Теоремы предельного перехода в неравенствах.

9.Теорема о сжатой переменной.

12. Первый и второй замечательные пределы, их следствия.

13. Сравнение бесконечно малых функций.

14. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о вычислении пределов с их помощью.

15. Непрерывность функции в точке.

16. Теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций

17. Непрерывность сложной функции, непрерывность элементарных функций.

18. Точки разрыва, их классификация.

19. Теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.

6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Задача о проведении касательной к плоской кривой.

2. Задача о мгновенной скорости прямолинейного движения точки.

3. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.

4. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

5. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

6. Производная суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций.

7. Производная сложной функции и обратной функций.

9. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

10. Дифференциал функции, его геометрический смысл, применение к приближенным вычислениям.

11. Производная параметрически заданной функции.

12. Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка.

13. Теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля., теорема Лагранжа, теорема Коши.

14. Правило Лопиталя.

7.Исследование функции с помощью производных

1.Условия возрастания и убывания функций.

2.Экстремумы функций. Условия существования экстремумов.

3.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

4.Условия выпуклости и вогнутости графика функций, существования точек перегиба.

5.Асимптоты графика функции.

6.Общая схема исследования функции и построение графика.