Дробный факторный эксперимент

При большом числе факторов (k >3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом, экспериментов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться, линейным приближением, т. е. получить адекватную модель в виде полинома y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ +...+ b _k x _k, то число экспериментов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента. Так, например, в полном факторном эксперименте типа 2² при линейном приближении коэффициент регрессии b ₁₂ можно принять равным нулю, а столбец x ₁ x ₂ матрицы (табл. 16.4) использовать для третьего фактора x ₃.

Таблица 16.4

Матрица планирования

Номер экспер.	x 0	x 1	x 2	x 3 (x 1 x 2)	y
	+	+	+	+	y 1
	+	-	+	-	y 2
	+	+	-	-	y 3
	+	-	-	+	y 4

В этом случае линейная модель будет определяться уравнением y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₃ x ₃. Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре эксперимента вместо восьми в пол­ном факторном эксперименте типа 2³. План эксперимента, преду­сматривающий реализацию половины экспериментов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k >3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся ча­стью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают зависимостю 2 ^k-p, где p - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При p = 1 получают полуреплику; при p = 2 получают ¼ - реплику; при p = 3 получают ⅛ - реплику и т. д. по степеням двойки. Так, например, если в полном факторном эксперименте 2³ (табл. 16.5) один из эффектов взаимодействия (x ₁ x ₂, x ₁ x ₃, x ₂ x ₃, x ₁ x ₂ x ₃) заменим четвертым фактором x ₄, то получим полуреплику 2^4-1 от полного факторного эксперимента 2⁴. Если два эффекта взаимодействия заменить факторами x ₄ и x ₅, то получим ¼-реплику 2^5-2 от полного факторного эксперимента 2⁵.

Таблица 16.5

Матрица полного факторного эксперимента типа 2³

Номер экспер.	x 0	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3	y
	+	-	-	+	+	-	-	+	y 1
	+	+	-	+	-	+	-	-	y 2
	+	-	+	+	-	-	+	-	y 3
	+	+	+	+	+	+	+	+	y 4
	+	-	-	-	+	+	+	-	y 5
	+	+	-	-	-	-	+	+	y 6
	+	-	+	-	-	+	-	+	y 7
	+	+	+	-	+	-	-	-	y 8

Можно получать ⅛-реплику от полного факторного эксперимента 2⁶, заменив три эффекта взаимодействия факторами x ₄, x ₅ и x ₆. Если заменить четыре эффекта взаимодействия факторами x ₄, x ₅, x ₆ и x ₇, то получим, 1/16 -реплику 2^7-4 от полного факторного эксперимента 2⁷.

Реплики, которые используют для сокращения числа экспериментов в 2 ^m раз, где m =1, 2, 3..., называют регулярными.

В связи с тем, что в дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии будут являться совместными оценками линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Так, например, если в матрице (табл. 16.4) вычислим элементы столбцов для произведений x ₁ x ₃ и x ₂ x ₃, то увидим, что элементы столбца x ₁ x ₂ совпадают с элементами столбца x ₂, а элементы столбца x ₂ x ₃ - с элементами столбца x ₁. Следовательно, коэффициенты b ₁, b ₂, b ₃ будут оценками совместных эффектов, а именно

b ₁ → β₁ + β₂₃; b ₂→ β₂ + β₁₃; b ₃→ β₃ + β₁₂.

Коэффициент b ₁ является оценкой влияния фактора x ₁ и парного взаимодействия x ₂ x ₃ на функцию отклика. Влияние фактора x ₁ в этом случае характеризуется величиной β₁, а влияние взаимодействия - величиной β₂₃. Оценки, в которых невозможно разделить линейный эффект и эффект взаимодействия, называют смешанными. Линейные эффекты рекомендуется смешивать, прежде всего, с теми взаимодействиями, которые согласно априорной информации незначимы.

Число несмешанных линейных эффектов в дробной реплике называют ее разрешающей способностью.

Часто приходится решать задачи, в которых заранее можно полагать, что эффекты взаимодействия, хотя и малы по сравнению с линейными, но все же не равны нулю. В таких случаях необходимо заранее определить, какие коэффициенты являются смешанными оценками. Тогда в зависимости от условий поставленной задачи, подбирается такая дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента.

Прямая оценка разрешающей способности дробной реплики затруднена. Поэтому дробные реплики задают с помощью генерирующих соотношений. Генерирующим называют соотношение, которое показывает, какое из взаимодействий принято незначимым и заменено новым фактором.

План типа 2^3-1 может быть представлен двумя полурепликами (табл. 16.6), которые задаются одним из следующих генерирующих соотношений:

x ₃ = x ₁ x ₂; x ₃ = - x ₁ x ₂.

Генерирующие соотношения умножим на новую независимую переменную x ₃:

Таблица 16.6

Две полуреплики плана типа 2^3-1

Номер экспер.	x 3 = x 1 x 2	Номер экспер.	x 3 = - x 1 x 2
	x 1	x 2	x 3		x 1	x 2	x 3
	-	+	-		-	+	+
	+	+	+		+	+	-
	-	-	+		-	-	-
	+	-	-		+	-	+

Поскольку всегда , получим следующие соотношения:

1 = x ₁ x ₂ x ₃; 1 = - x ₁ x ₂ x ₃. (16.3)

В результате умножения генерирующего соотношения на новую переменную получают так называемый определяющий контраст. Для указанных выше полуреплик определяющими контрастами будут зависимости (16.3). Зная определяющий контраст, можно найти соотношения, задающие совместные оценки. Для этого необходимо умножить независимые переменные x ₁, x ₂ и x ₃ на определяющий контраст. Умножая определяющие контрасты (16.3) на x ₁, получим соотношения

так как , то

x ₁ = x ₂ x ₃; x ₁ = - x ₂ x ₃.

Умножая определяющие контрасты на x ₂ и x ₃, получаем следующие соотношения:

x ₂ = x ₁ x ₃; x ₂ = - x ₁ x ₃;

x ₃ = x ₁ x ₂; x ₃ = - x ₁ x ₂.

Это означает, что коэффициенты регрессии будут оценками

b ₁ → β₁ + β₂₃; b ₁→ β₁ – β₂₃;

b ₂ → β₂ + β₁₃; b ₂→ β₂ – β₁₃;

b ₃ → β₃ + β₁₂; b ₃→ β₃ – β₁₂.

Полуреплика 2^4-1 может быть задана генерирующим соотношением x ₄ = x ₁ x ₂ x ₃. Матрица планирования этой полуреплики представлена табл. 16.7.

Определяющим контрастом полуреплики является соотношение

1 = x ₁ x ₂ x ₃ x ₄.

Совместные оценки будут определяться следующим образом:

x ₁ = x ₂ x ₃ x ₄ b ₁ → β₁ + β₂₃₄;

x ₂ = x ₁ x ₃ x ₄ b ₂ → β₂ + β₁₃₄;

x ₃ = x ₁ x ₂ x ₄ b ₃ → β₃ + β₁₂₄;

x ₄ = x ₁ x ₂ x ₃ b ₄ → β₄ + β₁₂₃;

x ₁ x ₂ = x ₂ x ₄ b ₁₂ → β₁₂ + β₃₄;

x ₁ x ₃ = x ₃ x ₄ b ₁₃ → β₁₃ + β₂₄;

x ₁ x ₄ = x ₂ x ₃ b ₁₄ → β₁₄ + β₂₃.

Полуреплика 2^4-1 может быть также задана генерирующим соотношением x ₄ = x ₁ x ₂. Матрица планирования этой полуреплики представлена табл.16. 8.

Таблица 16.7 Таблица16.8

Полуреплика 2^4-1 с определяющим Полуреплика 2^4-1 с определяющим контрастом 1 = x ₁ x ₂ x ₃ x ₄. контрастом 1 = x ₁ x ₂ x ₄

Номер экспер.

x 0

x 1

x 2

x 3

x 4

y

Номер экспер.

x 0

x 1

x 2

x 3

x 4

y

+

-

-

+

+

y 1

+

-

-

+

+

y 1

+

+

-

+

-

y 2

+

+

-

+

-

y 2

+

-

+

+

-

y 3

+

-

+

+

-

y 3

+

+

+

+

+

y 4

+

+

+

+

+

y 4

+

-

-

-

-

y 5

+

-

-

-

+

y 5

+

+

-

-

+

y 6

+

+

-

-

-

y 6

+

-

+

-

+

y 7

+

-

+

-

-

y 7

+

+

+

-

-

y 8

+

+

+

-

+

y 8

Определяющим контрастом полуреплики является соотношение

1 = x ₁ x ₂ x ₄.

Совместные оценки в этом случае будут определяться следую­щим образом:

x ₁ = x ₂ x ₄ b ₁ → β₁ + β₂₄;

x ₂ = x ₁ x ₄ b ₂ → β₂ + β₁₄;

x ₃ = x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ b ₃ → β₃ + β₁₂₃₄;

x ₄ = x ₁ x ₂ b ₄ → β₄ + β₁₂;

x ₁ x ₃ = x ₂ x ₃ x ₄ b ₁₃ → β₁₃ + β₂₃₄;

x ₂ x ₃ = x ₁ x ₃ x ₄ b ₂₃ → β₂₃ + β₁₃₄;

x ₃ x ₄ = x ₁ x ₂ x ₃ b ₃₄ → β₃₄ + β₁₂₃.

В практических задачах тройные и более высокого порядка взаимодействия значительно чаще, чем двойные, бывают равны нулю и ими обычно можно пренебречь. Полуреплика 2^4-1, заданная генерирующим соотношением x ₄ =x ₁ x ₂ x ₃, позволяет получить раздельные оценки четырех линейных эффектов и три совместные оценки парных взаимодействий. В этом случае раздельными оценками будут b ₁, b ₂, b ₃ и b ₄, так как тройными взаимодействиями β₂₃₄, β₁₃₄, β₁₂₄ и β₁₂₃ вследствие их незначимости можно пренебречь. В полуреплике, заданной генерирующим соотношением x ₄ =x ₁ x ₂, три линейных эффекта, а именно b ₁, b ₂, b ₄ - оказались смешанными с парными взаимодействиями. Разрешающая способность полуреплики, заданной генерирующим соотношением x ₄ =x ₁ x ₂ x ₃, получилась значительно выше, чем у полуреплики, заданной генерирующим соотношением x ₄ =x ₁ x ₂. Следовательно, разрешающая способность полуреплики зависит от генерирующего соотношения, которым она задана.

Для оценки разрешающей способности реплик (большой дробности (¼, ⅛ и т. д.) используют обобщающие определяющие контрасты. ¼-реплика 2^5-2 может быть задана следующими генерирующими соотношениями: x ₄ =x ₁ x ₂ x ₃, x ₅ =x ₂ x ₃. Матрица планирования этой реплики представлена табл. 16.9.

Таблица 16.9 Таблица 16.10

Матрица планирования 2^5-2 Матрица планирования 2^7-4