Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Суммой двух матриц А =(аij) m,n и В =(bij) m,n называется матрица С = А+В, элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов аij и bij матриц А и В.
Например:
Для суммы матриц справедливы следующие свойства:
1. А+В = В+А — коммутативность;
2. А +(В+С)=(А+В)+ С — ассоциативность;
3. А+ 0 = А, 0 — нулевая матрица.
Произведением матрицы А= (аij) m,n на число называется матрица В = А, элементы которой bij вычисляются следующим образом: bij = aij, i=1..m; j=1..n. Например, если то
Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:
1. А=А 4.
2. 1· А =А 5.
3. 0 ·А = 0 6.
Определение: Матрица (- А) = (-1)· А называется противоположной матрице А.
Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B = A +(-1)· B.
Произведением матрицы А порядка m k на матрицу В порядка k n (т.е. количество столбцов первой матрицы равно числу строк второй) называется матрица С = А·В порядка m n, элементы которой сij вычисляются по формуле:
сij = ai1b1j + ai2b2j +... + aikbki, i =1.. m; j =1 ..n.
Из данного выражения следует правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы С, необходимо все элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.
Для произведения матриц справедливы следующие свойства:
1. А (ВС) = (АВ) С 3. (А + В) С = АС + ВС
2. (АВ) = ( А) В 4. С (А + В) = СА + СВ
Произведение двух матриц не коммутативно, т.е. в общем случае АВ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.
Пример 2.1. Найти произведения АВ и ВА матриц:
Решение:
Пример 2.2. Найти произведение AB двух векторов:
Решение. При умножении матрицы-строки на вектор-столбец получаем число :
Пример 2.3. Найти произведение KL следующих матриц:
Решение:
Транспонирование матрицы — это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами. Обозначение транспонированной матрицы: .
Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:
1. (А `)` = A
2. (A + B)` = A ` + B `
3. (AB)` = B ` A `
Матрица А =(аij) m,n называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной.
Квадратная матрица А -1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению:
А -1 А = АА -1 = Е.
Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над строками матрицы:
1. умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
2. прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.
Для того, чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, необходимо составить матрицу , затем с помощью элементарных преобразований преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А -1.
Пример 2.5. Вычислить обратную матрицу для матрицы A:
Решение. Составим матрицу В(0) вида:
Элемент и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный, с единицей в первой строке. Для этого к второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и (-2). В результате данных преобразований получим матрицу:
В матрице В (1) преобразуем второй столбец в единичный. В качестве направляющего элемента выберем элемент Так как направляющий элемент , то разделим вторую (направляющую) строку на 3. Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на -3. Получим матрицу
Третий столбец матрицы В (2) преобразуем в единичный. В качестве направляющего элемента выбираем Делим направляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью, умноженную на (–4/3). Получим матрицу
откуда
Выполним проверку:
Аналогично A -1 A = E.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 351 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!