Сборник задач по высшей математике для студентов 1 курса

Преподавание математики имеет целью: Дать будущему инженеру определенный объем знаний по математике, необходимый как для изучения смежных инженерных дисциплин, так и специальных курсов; развивать математическую интуицию и умение использовать изученные математические методы в решении задач прикладного характера, связанных с будущей специальностью студента; воспитывать математическую культуру и умение работать с книгой.

В результате изучения курса студент должен приобрести твердые навыки решения математических задач и развить на этой базе логическое и алгоритмическое мышление; выработать первичные навыки математического исследования прикладных вопросов и умение самостоятельно разбираться в математическом аппарате, содержащемся в литературе, связанной со специальностью студента; уметь при решении задач выбирать и использовать необходимые вычислительные методы и средства (компьютер, справочники, таблицы) с целью получения практических рекомендаций.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Она складывается из чтения учебников, решения задач, выполнения контрольных заданий. В помощь заочникам институт организует чтение лекций и проведение практических занятий. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами во время субботних занятий. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института будет достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения каждого из математических курсов является сдача экзаменов в соответствии с учебным планом.

1 ПРОГРАММА КУРСА

1.1 Линейная алгебра.

1. Определители, их свойства (Понятие определителя, Свойства определителей)
2. Матрицы, виды матриц. (Вычисление определителя n-го порядка, Обратная матрица, Ранг матрицы)
3. Действия над матрицами, умножение матриц.
4. Решение систем линейных уравнений (с.л.у.) методом Крамера.
5. Обратная матрица.
6. Решение с.л.у. с помощью обратной матрицы. Матричное уравнение.
7. Метод Гаусса решения с.л.у.

1.2 Аналитическая геометрия

1.Вектор, проекция вектора на ось. Линейные операции над векторами.
2.Линейная зависимость векторов. Базис.
3.Скалярное произведение векторов.
4. Векторное произведение векторов.
5. Смешанное произведение векторов.
4.Прямая линия на плоскости, виды уравнений.
5.Прямая линия в пространстве, виды уравнений.
6.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, окружность.
7.Плоскость, виды уравнений.
8.Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, конусы.

1.3 Введение в математический анализ.

1.Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.
2. Число е, второй замечательный предел. Натуральные логарифмы.
3.Предел функции.
4.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
5.Замечательные пределы: 1, 2, 3, 4, 5.
6.Сравнение б/м. Эквивалентные б/м.
7.Свойства непрерывных функций на отрезке.

1.4Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

1.Определение производной, ее механический смысл.
2.Касательная и нормаль к кривой.
3.Производная сложной функции. Правила дифференцирования.
4.Производные высших порядков.
5.Дифференциал функции, применение его в приближенных вычислениях.
6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях: Ферма, Ролля, Лагранжа.
7.Правило Лопиталя.
8.Экстремумы, монотонность функции.
9.Точки перегиба, выпуклость и вогнутость кривой.
10.Асимптоты графика функции.
11.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

1.5Дифференциальное исчисление функции многих переменных.

1.Определение функции многих переменных, линии уровня, график.
2.Частные производные.
3.Полный дифференциал, его применение в приближенных вычислениях.
4.Градиент, производная по направлению.
5.Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
6.Метод наименьших квадратов.

1.6 Неопределенный и определенный интегралы.

1. Первообразная.
2. Неопределенный интеграл, свойства и правила интегрирования.
3. Таблица интегралов.
4. Методы интегрирования:
1) интегрирование по частям;
2) интегралы, содержащие квадратный трехчлен;
3) метод неопределенных коэффициентов;
4) интегралы, содержащие тригонометрические функции и
иррациональности.

1.7 Дифференциальные уравнения.

1.Основные понятия дифференциальных уравнений.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
4. Линейные диф. уравнения второго порядка, основные понятия, свойства.
5. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
6 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии

и линейной алгебры

Задача 1

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

1) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) Площадь грани А₁А₂А₃;

3) Уравнение плоскости А₁А₂А₃;

4) Объем пирамиды;

5) Уравнения и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

6) Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А ₃;

7) Уравнение плоскости, параллельной А₁ А₂ А₄, проходящей через А₃

8) Угол между плоскостями А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

9) Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

1.1 А₁(14; 4; 5), А₂(-5; -3; 2), А₃(-2; -6; -3), А₄(-2; 2; 1).

1.2 А₁(2; -1; 2), А₂(1; 2; -1), А₃(3; 2; 1), А₄(-4; 2; 5).

1.3 А₁ (1; 1; 2), А₂(-1; 1; 3), А₃ (2; -2; 4), А₄(-1; 0; -2).

1.4 А₁(2; 3; 1), А₂(4; 1; -2), А₃(6; 3; 7), А₄(7; 5; -3).

1.5 А₁(1; 1;-1), А₂(2; 3; 1), А₃(3; 2; 1), А₄(5; 9; -8).

1.6 А₁(1; 5; -7), А₂(-3; 6; 3), А₃(-2; 7; 3), А₄(-4; 8; -12).

1.7 А₁ (-3; 4; -7), А₂(1; 5; -4), А₃ (-5; -2; 0), А₄(2; 5; 4).

1.8 А₁(-1; 2; -3), А₂(4; -1; 0), А₃(2; 1; -2), А₄(3; 4; 5).

1.9 А₁ (4; -1; 3), А₂(-2; 1; 0), А₃ (0; -5; 1), А₄(3; 2; -6).

1.10 А₁(1; -1; 1), А₂(-2; 0; 3), А₃(2; 1; -1), А₄(2; -2; -4).

1.11 А₁(1; -4; 5), А₂(5; -3; 2), А₃(2; -6; -3), А₄(2; 2; 1).

1.12 А₁(12; -1; 2), А₂(1; -2; -1), А₃(3; -2; 1), А₄(4; 2; 5).

1.13 А₁ (10; 1; 2), А₂(-1; -1; 3), А₃ (2; 2; 4), А₄(-1; 0; -2).

1.14 А₁(-2; 3; 1), А₂(4; -1; -2), А₃(6; -3; 7), А₄(6; 5; -3).

1.15 А₁(11; 1;-1), А₂(2; -3; 1), А₃(3; -2; 1), А₄(5; 0; -8).

1.16 А₁(1; -5; -7), А₂(3; 6; 3), А₃(-2; -7; 3), А₄(-4; 8; -12).

1.17 А₁ (3; 4; -7), А₂(1; -5; -4), А₃ (-5; 2; 0), А₄(2; 5; -4).

1.18 А₁(1; 2; -3), А₂(4; 1; 0), А₃(2; -1; -2), А₄(3; -4; 5).

1.19 А₁ (4; 1; 3), А₂(-2; -1; 0), А₃ (0; 5; 1), А₄(3; -2; -6).

1.20 А₁(12; -1; 1), А₂(2; 0; 3), А₃(2; -1; -1), А₄(2; -2; -4).

Задача 2

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) методом Крамера,

3) средствами матричного исчисления.

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

2.11 2.12

2.13 2.14

2.15 2.16

2.17 2.18

2.19 2.20

Введение в математический анализ

Задача 3

Найти пределы функции.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11 a)

б)

3.12 a)

б)

3.13 a)

б)

3.14 a)

б)

3.15 a)

б)

3.16 a)

б)

3.17 a)

б)

3.18 a)

б)

3.19 a)

б)

3.20 a)

б)

Производная и ее приложения

Задача 4

Найти производные заданных функций

(в случаях г и д найти производные второго порядка ).

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11 а) б) в)

г) д)

4.12 а) б) в)

г) д)

4.13 а) б) в)

г) д)

4.14 а) б) в)

г) д)

4.15 а) б) в)

г) д)

4.16 а) б) в)

г) д)

4.17 а) б) в)

г) д)

4.18 а) б) в)

г) д)

4.19 а) б) в)

г) д)

4.20 а) б) в)

г) д)

Функции нескольких переменных

Задача 5

5.1 Дана функция . Показать, что

5.2 Дана функция . Показать, что

5.3 Дана функция . Показать, что

5.4 Дана функция . Показать, что

5.5 Дана функция . Показать, что

5.6 Дана функция . Показать, что

5.7 Дана функция . Показать, что

5.8 Дана функция . Показать, что

5.9 Дана функция. . Показать, что

5.10 Дана функция . Показать, что

5.11 Дана функция . Показать, что

5.12 Дана функция . Показать, что

5.13 Дана функция . Показать, что

5.14 Дана функция . Показать, что

5.15 Дана функция . Показать, что

5.16 Дана функция . Показать, что

5.17 Дана функция . Показать, что

5.18 Дана функция . Показать, что

5.19 Дана функция . Показать, что

5.20 Дана функция . Показать, что

Задача 6

Дана функция точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора .

6.1 z = 3x²y² + 5xy²; A(1; 1), .

6.2 z = 3x⁴ + 2x²y³; A(-1; 2), .

6.3 z =ℓn(3x² + 4y²); A(1; 3), .

6.4 z = arсsin ; A(1; 2), .

6.5 z = arсtg (xy²); A(2; 3), .

6.6 z = 5x² + 6xy; A(2; 1), .

6.7 z =ℓn(5x² + 4y²); A(1; 1), .

6.8 z =ℓn(5x² + 3y²); A(1; 1), .

6.9 z = 2x² + 3xy+y²; A(2; 1), .

6.10 z = x² + xy+y²; A(1; 1), .

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

Интегралы

Задача 7

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п. а) и б)) проверить результаты дифференцированием.

7.1 а) ; б) ; в) ; г) .

7.2 а) б) в) ; г) .

7.3 а) ; б) ; в) ; г) .

7.4 а) ; б) ; в) ; г) .

7.5 а) ; б) ; в) ; г) .

7.6 а) ; б) ; в) ; г) .

7.7 а) ; б) ; в) ; г) .

7.8 а) ; б) ; в) ; г) .

7.9 а) ; б) ; в) ; г) .

7.10 а) ; б) ; в) ; г) .

7.11 а) б) в) г)

7.12. а) б) в) г)

7.13. а) б) в) г)

7.14. а) б) в) г)

7.15. а) б) в) г)

7.16. а) б) в) г)

7.17. а) б) в) г)

7.18. а) б) в) г)

7.19. а) б) в) г)

7.20. а) б) в) г)

Задача 8

Вычислить площадь области, ограниченной линиями.

Дифференциальные уравнения

Задача 9

Найти общие интегралы дифференциальных уравнений

9.1. а) б)

9.2. а) б)

9.3. а) б)

9.4. а) б)

9.5. а) б)

9.6. а) б)

9.7. а) б)

9.8. а) б)

9.9. а) б)

9.10. а) б)

9.11. а) б)

9.12. а) б)

9.13. а) б)

9.14. а) б)

9.15. а) б)

9.16. а) б)

9.17. а) б)

9.18. а) б)

9.19. а) б)

9.20. а) б)

Задача 10

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения при данных начальных условиях .

10.1 ; .

10.2. ; .

10.3. ; .

10.4. ; .

10.5. ; .

10.6. ; .

10.7. ; .

10.8. ; .

10.9. ; .

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

5 УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ, ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ И ПОРЯДОК ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ НА РЕЦЕНЗИЮ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам проводятся лекционные и практические занятия. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить материал по учебнику. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. При изучении материала необходимо вести конспект.

При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться правил:

1. Контрольные работы оформляются в отдельной тетради.

2. Титульный лист оформляется по образцу.

3. Решение записывается четким, разборчивым почерком, синими чернилами.

4. Перед решением должно быть обязательно записано условие задачи.

5. Решение задач необходимо излагать подробно, чертежи выполнять

аккуратно, с помощью линейки и карандаша.

Целью выполнения контрольных работ является - оказание помощи студенту в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им материала, указывают на имеющиеся у него пробелы.

Выполненная контрольная работа должна быть предоставлена студентом на кафедру высшей математики (331 аудитория) не позднее, чем за неделю до назначенного экзамена по этому предмету. Контрольная работа сдается сначала лаборанту для регистрации. Результат проверки работы студент узнает у лаборанта. После выполнения контрольной работы преподаватель проводит собеседование. Завершающим этапом изучения является сдача экзамена.

Без зачтенной контрольной работы студент не допускается к экзамену.

6 УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задача 1 Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

1) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) Площадь грани А₁А₂А₃;

3) Уравнение плоскости А₁А₂А₃;

4) Объем пирамиды;

5) Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

6) Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃;

7) Уравнение плоскости, параллельной А₁А₂А₄, проходящей через вершину А₃;

8) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

9) Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0).

Решение

1) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол между векторами и .

{1-2; 1-0; -4+3}={-1; 1; -1}

{4-2; -2-0; 0+3}={2; -2; 3}

Найдем длины векторов

и

Косинус угла между векторами и равен

φ = arсcos (-0,9802)=π-arccos 0,9802= 168°36^/

2) Для нахождения площади грани А₁А₂А₃ используем векторное произведение векторов.

{0-2; -1-0; 3-(-3)}={-2; -1; 6}

S∆=

{-1; 1; -1}, {-2; -1; 6}

{5; 8; 3}

S∆= (кв.ед.)

3) Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃, зная, что А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3).

5х+8y+3z-1=0 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

4) Для нахождения объема пирамиды используем смешанное произведение векторов , , , приняв во внимание, что треугольная пирамида составляет объема параллелепипеда.

= {-1; 1; -1}, = {-2; -1; 6}, = {2; -2; 3}

= (куб.ед.)

5) V_пир.= S_осн H

А₄

А2

H= (лин.ед) – длина

	А1

высоты А₄О

А3

_{Рисунок 1 - Пирамида}

Воспользуемся формулой Канонического уравнения прямой для нахождения уравнения высоты А₄О, учитывая, что в качестве направляющего вектора прямой А₄О служит нормаль к плоскости А₁А₂А₃ вектор {5; 8; 3}, и прямая А₄О проходит через точку А₄(4; -2; 0).

уравнение высоты.

6) Проекцией А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃ является А₁О. Из треугольника А₁А₄О найдем

А₁А₄= , А₄О=0,3

А₁О= (лин. ед.)

7) Сначала найдем уравнение плоскости А₁А₂А₄, получим:

- уравнение плоскости А₁А₂А₄

Так как искомая плоскость параллельна А₁А₂А₄, то нормаль у них одинаковая: {1; 1; 0}.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку А₃(0; -1; 3).

- уравнение искомой плоскости.

8) Воспользуемся найденными уравнениями плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

{5; 8; 3}, {1; 1; 0}

9) А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0)

Рисунок 2 – Чертеж пирамиды в пространстве

Задача 2

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

1) методом Крамера;

2) методом Гаусса;

3) средствами матричного исчисления

Решение

Составим матрицу системы и найдем ее ранг

Вычислим определитель этой матрицы

Следовательно, и равен числу неизвестных системы, поэтому система совместна и имеет единственное решение.

1) Вычислим вспомогательные определители:

Находим решение системы

, ,

Ответ: (1; -2; 3)

2) Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Чтобы иметь при первом неизвестном единицу в первом уравнении вычтем из второго уравнения первое, результат поставим вместо первого уравнения.

&nb Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы! studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...