Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит, определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется

Например, неравенству удовлетворяют пары : (100;2), (3; -10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.

Рассмотрим произвольные неравенства: Прямая делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству , а другой

Действительно, возьмем точку с координатой (см. рис.2.1). Тогда точка P, лежащая на прямой и имеющая абсциссу имеет , итак

Пусть для определенности Все точки с абсциссой лежащие выше (например, точка М), имеют а все точки, лежащие ниже точки , с абсциссой имеют

Поскольку произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых , образующие полуплоскость, а с другой стороны точки, для которых . Знак неравенства в полуплоскости зависит от знака чисел

В этом факте и заключён способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных.

Рис. 2.1 Графическое решение линейного неравенства

Для решения системы неравенств необходимо следующее.

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.

2. Построить прямые, задаваемые уравнениями.

3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого можно взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставив ее в левую часть неравенства, сравнить со знаком исходного неравенства. Если они совпадают, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если знаки разные, то полуплоскость по другую сторону прямой является решением данного неравенства.

4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть открытой.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Определить область решения системы:

Решение:

1. Рассмотрим уравнения и , соответствующие неравенствам.

2. Построим прямые, определяющиеся этими уравнениями:
по точкам (0;1), (1;0) и
по точкам (0;2,5), (2,5;0).

3.

Рис. 2.2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмём произвольную точку, например . Рассмотрим , подставим точку в неравенство оно выполняется, значит это и есть нужная полуплоскость. Т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Смотри рис.2.2

Подставим точку во второе неравенство, имеем , т.е. в полуплоскости, где лежит , неравенство не выполняется, следовательно, область решения неравенства – другая полуплоскость (выше прямой).

4. Найдём пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит, система данных неравенств решений не имеет.

Ответ: система несовместна.

Пример 2. Найти графически решение системы неравенств:

	Рис. 2.3

Решение:

1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые:

, , .

2. Выбрав точку , определим знаки неравенств в полуплоскостях:

т.е. полуплоскость ниже прямой ВС.

т.е. полуплоскость ниже прямой АВ.

т.е. в полуплоскости выше прямой.

3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником (смотри рис.2.3). Нетрудно найти вершины области, как пересечение соответствующих прямых:

Итак, областью является треугольник с вершинами А(–3;–2), В(0;1), С(6;–2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы – открытая.

Пример 3. Решить графически систему

Решение:

1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам и построим прямые и

2.

Рис. 2.4

Определим знаки в полуплоскостях. Выберем точку : т.е. полуплоскость ниже прямой.
Во втором неравенстве т.е. , что и нужно, т.е. полуплоскость ниже прямой . Смотри рис.2.4.

3. Пересечением двух плоскостей является угол с вершиной в Открытая область, ограниченная этим углом и является решением исходной системы неравенств.