Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр

Мы знаем, что если нижняя цена игры а равна верхней b (максимин равен минимаксу) то игра имеет седловую точку и по крайней мере одно решение в чистых стратегиях.
А если α ≠ β? Можно доказать, что и в этом случае решение всегда есть, только оно лежит не в области чистых, а в области смешанных стратегий. Решением игры называется такая пара стратегий — в общем случае смешанных, систематическое применение которых обеспечивает каждой стороне максимально возможный для нее по условиям игры выигрыш, определяемый ценой игры. Если же одна из сторон отступает от своей оптимальной стратегии (в то время как другая продолжает придерживаться своей), то это ни в коем случае не может быть выгодно для отступающего; это либо оставит его выигрыш неизменным, либо уменьшит. Таким образом, каждая конечная игра имеет решение (возможно, в области смешанных стратегий). Это положение называется основной теоремой теории игр.
Введем специальное обозначение для смешанных стратегий. Пусть К применяет свои стратегии К₁, К₂, К₃ с частотами соответственно p₁, р₂, р₃ (p₁ + p₂ + p₃ = 1). Эту смешанную стратегию будем обозначать:

Аналогично смешанную стратегию игрока С будем обозначать:

где q₁ + q₂ + q₃ = 1.
Очевидно, любая чистая стратегия — частный случай смешанной, в которой все частоты, кроме одной, равны нулю, а одна — единице.
Решение игры — пару оптимальных стратегий — будем обозначать S_k^* и S_c^*, а соответствующий ему выигрыш (цену игры) v.
Очевидно, что цена игры v не может быть меньше нижней и больше верхней цены:

α ≤ v ≤ β

В первом примере мы путем нестрогих соображений догадались, что решение игры должно быть:

а цена игры v = 0. Проверим это. Пусть мы («красные») держимся своей стратегии S_k^*, т. е. ищем С в убежище I и II одинаково часто, череду я эти стратегии случайным образом. Может ли С улучшить свое положение (повысить свой выигрыш), отступая любым образом от своей стратегии S_c^*? Очевидно, нет. А если одностороннее отступление от стратегии S_k^* при дет в голову нам (в то время как разумный С будет держаться стратегии S_c^*), то это нам то же не может быть выгодно. Значит, мы и в самом деле нашли решение игры и ее цену v = 0. Правда, эта игра была довольно простой! Уже второй пример дает игру, решение которой не так очевидно. Из того, что в нем α ≠ β, следует, что решение нужно искать в смешанных стратегиях.

Теорема. (Неймана. Основная теорема теории игр.) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры v.