Арифметичні дії в позиційних системах числення

На уроках математики в початковій школі ви вивчили правила користування чотирма арифметичними діями: додавання (+), віднімання (-), множення (•) та ділення (:). Виявляється, що ці правила абсолютно однакові для всіх позиційних систем числення. Але тепер вам треба створити нові таблиці додавання та множення.

Перш ніж почати рахувати в різних системах числення, зробимо ще одне суттєве зауваження. Ви, мабуть, звернули увагу на те, що всі розглянуті системи числення використо­вують відомі нам цифри десяткової системи. Це тому, що їхня основа менша за десять. При цьому деякі цифри навіть вияв­ляються зайвими! Якщо ж розглянути, наприклад, шістнадцяткову систему числення, то там справа буде зовсім іншою. Але про це трохи пізніше. А зараз не будемо забувати, що наведені приклади стосуються тільки систем числення, в яких основа менша за 10.

Розглянемо спочатку дію додавання. Додаватимемо числа в стовпчик по розрядах - спочатку одиниці, потім десятки, після них сотні і т. д.

Для того щоб уникнути проблем при додаванні деяких цифр, скористайтеся такою порадою: якщо сума цифр у даній системі числення перевищує 10, то доповніть спочатку перший доданок до повного «десятка» цієї системи числення, а залишок другого доданка додайте після цього до одержаного числа 10.

Приклади:

Наводимо приклад додавання більших чисел:

Тепер розглянемо дію віднімання. Пригадаємо, що коли при відніманні в десятковій системі числення в деякому роз­ряді зменшуване менше за від'ємник, то ви позичаєте одиницю у найближчого зліва від нього розряду, значення якого більше за 0. Цей принцип застосовується в будь-якій позиційній системі числення. Як ілюстрацію дії віднімання розглянемо приклад:

Спробуйте отримати результат цього прикладу, виконавши всі дії покроково. А щоб перевірити отриманий результат, виконайте додавання:

Наступна дія - множення. Хоча її можна розглядати як багатократне додавання, але всі ми пам'ятаємо таблиці множення, які заучували для швидкого виконання цієї дії. Звичайно, що пам'ятати таблиці множення для різних систем числення неможливо. Треба лише забути про десяткову систему числення і перейти у «світ» тієї системи числення, в якій працюємо. При цьому треба користуватися лише цифрами цієї системи числення. Якщо все ж таки важко зорієнтуватися в новій системі числення, то слід замінити множення на багатократне додавання.

Розглянемо приклад, результатом якого можна скористатися для перевірки власного результату обчислення:

Насамкінець розглянемо дію ділення. Здається, що вона виглядає найскладнішою серед усіх арифметичних дій, але і з нею нескладно розібратися. Розглянемо такий приклад:

Виконуватимемо дію ділення у стовпчик так само, як і в десятковій системі числення.

За правилами виконання дії ділення у стовпчик треба вико­нати ділення націло, тобто виділити частку й остачу:

Розглянемо перший етап ділення: 25₇: 12₇ =?₇. Скористаємося тим, що в якій би системі числення ми не рахували, реальна кількість того, що рахуємо, і не збільшиться, і не зменшиться. Переведемо числа, з якими маємо справу, в десяткову систему числення і виконаємо дії в ній. Число 25₇ має два сімкових «десятки», або дві десяткові сімки: (2 • 10)₇ = (2 • 7)₁₀ = 14₁₀. У числі 25₇ ще лишилося п'ять сімкових «одиниць». Але ми знаємо, що 5₇ = 5₁₀, тому нам лишилося виконати дію: 14₁₀ + 5₁₀ = 19₁₀. Аналогічно переведемо число 12₇ у десяткову систему числення:

Тепер треба лише виконати дію:

За правилами виконання дії ділення у стовпчик треба виконати ділення націло, тобто виділити й остачу:

Зробимо висновок з отриманого результату: якщо значення 9₁₀ поміститься двічі у числі 19₁₀, то й 12₇ так само двічі поміститься у числі 25₇, а остача в обох випадках буле однаковою (1₇=1₁₀). Після такого детального пояснення подальше виконання дій не викликатиме труднощів:

А тепер представимо у вигляді окремих функцій алгоритми виконання арифметичних дій у заданих системах числення. Для спрощення розглянемо випадок, коли основи цих систем числення не перевищують 9. В іншому випадку необхідно буде домовлятися, яким чином позначати цифри цих систем числення. Обмежимося також цілими числами та відсутністю перевірки коректності введення початкових даних.