Дослідження системи Лотка-Вольтерра „хижак-жертва”

Практична і лабораторна робота 4 з дисципліни „Моделювання систем”.

Дослідження системи Лотка-Вольтерра „хижак-жертва”.

Нехай біоценоз (біологічна система взаємодій) складається з двох взаємодіючих видів: жертви X та хижака Y, причому жертва харчується наявними ресурсами („травоїдна”), а хижак харчується жертвами. Для опису такого біоценозу відомий американський математик і демограф Альфред Лотка та знаменитий італійський математик Віто Вольтерра запропонували незалежно один від одного в середині 20-х років наступні рівняння:

dX / dt = aX - bX ²- cXY; dY / dt = - eY + fXY. (1)

В основі цієї моделі лежать такі додаткові припущення:

– за відсутності хижака (Y = 0) ріст чисельності жертви відбувається за логістичною моделлю зі швидкістю росту а та граничною густиною а / b;

– при відсутності жертв (X = 0) хижаки вимирають зі швидкістю - eY;

– швидкості поїдання жертви - cXY та відтворення хижака + fXY пропорційні кількості зустрічей хижака і жертви.

В будь який момент часу стан системи повністю описується значеннями X та Y, що називаються змінними стану або фазовими змінними. Кожному стану системи відповідає точка на декартовій площині з координатними осями X та Y, яка називається фазовою площиною. Часова послідовність точок фазової площини утворює фазову траекторію руху системи. Позначають стрілками напрям руху системи в часі вздовж фазових траєкторій. Сукупність характерних фазових траекторій системи називають її фазовим портретом.

Аналітичний розв’язок нелінійної динамічної ситеми (1) невідомий. Але оскільки система (1) досить проста, вдається якісно збудувати її фазові портрети без інтегрування диференціальних рівнянь.

Перший крок полягає в тому, щоб збудувати на фазовій площині лінії, для яких dX / dt = 0 або dY / dt = 0. Рівняння цих ліній отримуються безпосередньо з рівнянь (1):

a - bX - cY = 0; - eY + fXY = 0. (2)

З першого рівняння (2) отримуємо Y = a / c - b / cX. Це рівняння прямої, що проходить через точки фазової площини з координатами (a / b,0) та (0, a / с) (див. рис.1, А).

Друге рівняння задовольняється за будь-яких значень Y, якщо X = е / f. Це рівняння прямої, що проходить через точку з координатами (е / f,0) паралельно осі ординат.

Графіки прямих зображені на рис.1, А. Точка перетину цих прямих – це єдине положення рівноваги системи, де одночасно виконуються умови dX / dt =0 та dY / dt =0, а значить руху немає.

На рис.1, А показані також напрямки руху системи для-будь точок цих прямих. Справді, для прямої dY / dt =0 стрілки паралельні до осі абсцис, а їх напрям залежить від знаку dX / dt вище та нижче положення рівноваги. Для прямої dX / dt =0 стрілки паралельні до осі ординат, а їх напрям визначається знаком dY / dt правіше та лівіше положення рівноваги.

Параметр b системи (1) визначає характер обміну “енергією” між системою та навколишнім середовищем. Якщо b >0, то система втрачає енергію, а фазові траекторії наближаються з часом до стійкого положення рівноваги (рис.1, B). Якщо b <0, то система набуває енергії, а фазові траекторії віддаляються з часом від нестійкого положення рівноваги (рис.1, C). У разі відсутності обміну енергією маємо граничний випадок b =0, якому відповідає рух системи вкладеними еліпсами (рис.1, D).

Всі ці висновки отримані нестрогими інтуітивними міркуваннями і можуть бути підтверджені безпосереднім інтегруванням рівнянь (1) для певних коефіцієнтів та певних початкових умов.

На рис.2 показано перехідні процеси в системі (1) при: a = e =1; c = f =0.5; b =0.1; X (0)= Y (0)=0.5. Ці перехідні процеси відповідають фазовому портрету на рис.1. B.

Текст програми дослідження системи хижак-жертва мовою MATLAB 6.5

%*** Основна програма ***********************

%*** Predator-Victim System Elaboration ***

tlimit=[0, 50]; y0=[0.5, 0.5];

[t,y]=ode45(@predvict,tlimit,y0);

plot(t,y(:,1),t,y(:,2)); pause;

plot(y(:,1),y(:,2))

%*** Вміст файла з іменем predvict.m ***********

%**** PREDATOR-VICTIM's EQUATIONS ***********

function dydt=predvict(t,y)

dydt=[ 1*y(1)-0.1*y(1)^2-0.5*y(1)*y(2); -1*y(2)+0.5*y(1)*y(2) ];

На початку програми задані часовий інтервал інтегрування диференціальних рівнянь tlimit та початкові умови y0. Далі за допомогою функції MATLAB ode45 методом Рунге-Кутта розв’язуються рівняння, опис яких міститься у файлі predvict.m. Останні оператори будують у графічному вікні спочатку часові залежності змінних стану, а потім фазовий портрет системи.

Дослідження системи полягає в отриманні розв’язків для трьох значень параметра b: b >0; b <0; b =0. Для кожного значення параметра b треба отримати по два розв’язки для різних початкових умов. Пропонується доповнити програму так, щоб розв’язки з різними початковими умовами розмістити в одному графічному вікні.

Хід лабораторної роботи.

1. Вивчити теоретичну частину.

2. Набрати та відлагодити програму.

3. Отримати часові розв’язки та фазові портрети системи для трьох характерних значень параметра b >0; b <0; b =0. Для кожного значення параметра b треба отримати по два розв’язки для різних початкових умов. Рекомендується так доповнити програму, щоб розв’язки з різними початковими умовами були розміщені в одному графічному вікні.

4. Написати та захистити звіт.