Справочник

· Функция F(x) является первообразной для f(x) если ;

· Если то ;

· Таблица основных интегралов

Функция	Первообразная	Функция	Первообразная
			х

· Определённый интеграл ;

· Замена переменной а) ;

б) ;

· Интегрирование по частям

· Разложение на элементарные дроби

а) неправильная дробь,

выделение целой части и правильной дроби:

,

;

б) ,

,

,

,

;

· Примеры разложений правильной дроби (дробно-рациональной функции) на сумму элементарных дробей

,

,

,

число коэффициентов каждый раз равно порядку многочлена в исходном знаменателе;

· Интегралы от элементарных дробей:

1) ;

2) ;

3) ;

5) Интеграл вида при находится по формуле

;

· Интегрирование тригонометрических функций

Пусть -рациональное выражение от .

Тогда

а) находится с помощью универсальной подстановки

,

получим интеграл от дробно-рациональной функции;

б) или при чётности подынтегральной функции относительно синуса и косинуса находится с помощью подстановки

;

в)

в.1) – любое замена ;

в.2) – любое замена ;

в.3) -нечётное положительное, – любое замена

-нечётное положительное, – любое замена

в.5) – чётные положительные числа, тогда каждую степень

понижают вдвое по формулам

г) При интегрировании произведения тригонометрических функций используются формулы

,

,

;

· Площадь фигуры в декартовых координатах:

а) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми слева, справа, и графиком функции при условии ;

Если , то ;

б) Площадь между графиком и осью ОY

в) Если фигура ограничена в декартовых координатах графиком функции снизу, графиком сверху, вертикальными прямыми слева и справа, то ;

· Площадь между параметрически заданной линией

при и осями декартовой системы координат:

г.1) С осью ОХ ;

г.2) С осью ОY ;

· Линия является эллипсом с полуосями 4 и 3.

· ;

· Циклоида (заданная параметрически)

При а =1

· Линии в полярных координатах

-угол поворота от полярной оси (оси ОХ) против часовой стрелки, -расстояние до полюса (начала координат).

· Примеры линий в полярных координатах

· Площадь в полярных координатах:

Если фигура ограничена исходящими из полюса лучами ,

и линией , то площадь такого криволинейного сектора ;

Если фигура ограничена исходящими из полюса лучами ,

и линиями ближе к полюсу, дальше от полюса, то площадь такой фигуры ;

· Объём тела

а) Если для любой проекции тела на ось ОХ известна площадь поперечного сечения такого тела,

то его объём тела ;

б) Если в плоскости ХОY задана линия и при она вращается вокруг оси ОХ, то объём тела вращения

;

Если в плоскости ХОY задана линия и при она вращается вокруг оси ОY, то объём тела вращения

.

Рекомендуемая литература

1) Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С.

Краткий курс высшей математики (в двух томах).

Т.1. – М.: Высшая школа, 1978.-530 с.;

2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление

для ВТУЗов. Т.1. – М.: Наука, 1978 – 560с.;

3) Бугров Н.С., Никольский С.М.

Высшая математика. Дифференциальное и интегральное

исчисление. – М.: Наука, 1981.-432 с.;

4) Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.

Высшая математика в примерах и задачах (в двух частях).

Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986 – 304, 416 с.;

5) Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов.

под ред. Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1972.- 632 с.;

6) Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие для ВУЗов.

– М.: Высшая школа, 1996 – 320 c.;

7) Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике.

– М.: Айрис, 1998 – 288с.

УДК 519 О − 66

ББК 22.171

МиМ − 2.3. − __________ −07

Орлов Юрий Владимирович

Интегрирование.

Учебно – справочное пособие по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» для студентов всех специальностей заочной формы обучения

Новоуральск, изд. НГТИ, 2007 − 32 с.