Уравнение движения тела переменной массы

До сих пор мы рассматривали движение тела, масса которого не изменяется. Тем не менее, движение некоторых тел может сопровождаться непрерывным изменением их массы. В частности, изменяется масса самолёта, расходующего для своего движения запасы топлива; по той же причине изменяется масса ракеты при выбрасывании продуктов сгорания; масса движущейся капли может уменьшаться (испарение), или увеличиваться при конденсации паров на её поверхности. Как в физике анализируется движение тел, масса которых непрерывно изменяется?

Закон сохранения импульса, с которым мы ознакомились ранее [3, с. 27], позволяет осознать в основных чертах явление отдачи при движении воды из трубки крана в ванной (рычаг больше, явление проявляется заметнее), при выстреле, реактивном движении и при рассмотрении других схожих проблем.

Выведем уравнение движения тела с изменяющейся массой при некоторых упрощающих предположениях. В частности, допустим, в начальный момент времени тело с массой покоилось относительно инерциальной системы отсчёта, связанной, например, с Землёй. За счёт выбрасывания некоторой части массы в течение времени t масса тела сталаравной ,а скорость его – (рис. 1.7., левая часть). Будем предполагать, что за каждый промежуток времени от тела отделяется

Рис. 1.7. Вывод формулы для явления отдачи

(выбрасывается) масса , причём по окончании процесса отделения каждая из этих элементарных масс имеет одну и ту же конечную скорость, например, (рис. 1.7, правая часть). Также будем предполагать, что выброс массы производится силами взаимодействия между телом и его отделяющимися частями. В результате этого взаимодействия импульс отделившейся массы равен ; импульс, приобретённый оставшейся частью тела, запишется: . Здесь – скорость выброшен-
ной массы по отношению
к оставшейся части тела массой , скорость которой
(рис. 1.7).

Изменение импульса системы за время в соответствии с законом сохранения импульса запишется: ; где – импульс системы в момент времени t, в квадратных скобках импульс системы в момент времени (t + ). Проделав преобразования самостоятельно, читатель, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получит выражение вида: . По второму закону Ньютона изменениеимпульса определяется импульсом силы , и выражение принимает вид: ; здесь F является внешней силой, действующей на систему. Наконец, разделив полученное выражение на время dt (проделать самостоятельно), получаем уравнение динамики для тела переменной массы: . Здесь отражает наличие внешних силовых полей, а сила является силой отдачи или реактивной силой. Если учесть, что скорость является относительной скоростью истечения массы и есть величина постоянная, но противоположная скорости тела, уравнение динамики для тела переменной массой принимает вид:

. (1.6)

Это уравнение Мещерского является наиболее общим по сравнению с уравнением второго закона Ньютона и включает его как частный случай при условии, когда масса тела остаётся постоянной, т.е. . Убедились?

Частным случаем уравнения Мещерского является формула Циолковского. Действительно, если внешнее поле отсутствует и разделить переменные в уравнении (1.6), выражение принимает вид: . Проинтегрировав это выражение, , получаем уравнение вида: . Поскольку масса разгоняемого тела изменяется от начальной массы , включающей массу конструкции и топлива, до массы представляющей массу конструкции, уравнение Циолковского принимает вид: ; здесь учтено, начальная скорость в момент старта равна нулю, а скорость истечения газа противоположна направлению скорости тела.