Проекций точек

8.2.1. Двухкартинный комплексный

чертеж точки

Геометрические модели точек пространства в системе 2-х

плоскостей проекций (рис.8.6)

Точки А, В, С, … в эвклидовом про-странстве могут отличаться только сво-им положением по отношению к плос-костям проекций П₁ и П₂, а также к d, т.е., они могут располагаться в разных его квадрантах, совпадать с плоскостя-ми проекций, с биссекторной плоскос-тью d, а также с осью х₁₂.

С введением биссекторной плоско-сти d угла совмещения плоскостей П₁ и П₂ практически отпадает необходимо-сть в П₁.

Точки пространства, независимо от их положения в том или ином квадранте прежде из центра S¹_¥ проецируются, минуя П₁, на d, а затем полученные на ней проекции из центра S² проециру-ются на П¢ º П_{2 .} Тем самым устраняет-ся процесс совмещения П₁ с П₂ и свя-занное с ним искривление проецирую-щих лучей.

Графические модели различных точек пространства в системе 2-х плоскостей проекций (рис.8.7)

Определение 8.4. Графическая мо-дель точки в системе двух плоскос-

тей проекций называется б и н а р –

н о й.

Определение 8.5. Всякая пара кол-линейных разноименных проекций то-чки на вертикальной линии связи явля-ется бинарной геометро-графической

моделью одной точки эвклидова про-странства.

Изобразительные свойства ортогональных проекций различных точек эвклидова пространства (рис.8.7)

В изобразительных свойствах про-екций точек будем различать их позици-онное и метрическое содержание.

Позиционное содержание описы-вает особенности расположения проек-ций точек относительно оси х₁₂, кодиру-ющие информацию о положении самих точек в пространстве, отнесенном к си-стеме двух плоскостей ортогональных проекций.

1. Если А₂ выше (­) х₁₂ , А₁ ниже (¯) х_{12 ,} то точка А - в 1-й четверти.

или

1. А₂ ­ х₁₂, А₁ ¯ х₁₂ Þ А Î 1 четв.;

2. В₂ , В₁ ­ х₁₂ Þ В Î 2 четв.;

3. С₂ ¯ х₁₂ , С₁ ­ х₁₂ Þ С Î 3 четв.;

4. D₂ , D₁ ¯ х₁₂ Þ D Î 4 четв.

5. Е₁ º Е₂ º х₁₂ Þ Е Î х₁₂;

6. М₂ ­ х₁₂ , М₁ Î х₁₂ Þ М Î П₂ ;

7. N₂ Î х₁₂ , N₁ ¯ x₁₂ Þ N Î П₁ ;

8. (К₂ º К₁)­ х₁₂ , (L₂ º L₁) ¯ x₁₂ Þ K,L Î d

Если в рис.8.7 убрать ось х₁₂, то ис-чезнут двойные точки А₁₂, В₁₂ и т.д. и полученный чертёж станет безосным.

Метрическое содержание изобрази-тельных свойств ортогональных проек-ций точек описывает метрику положе-ния изображаемых точек относительно плоскостей проекций.

Если отрезки линий связи между проекциями точек и осью х₁₂ изобра-жают соответствующие участки прое-ирующих лучей от самих точек до пер-пендикулярных к ним плоскостей проек-ций, то эти участки проецируются на те плоскости проекций, к которым они параллельны, в натуральную величину. Поэтому:

1. Расстояние от фронтальной проекции точки до оси проекций х₁₂ равно расстоянию от самой точки до горизонтальной плоскости проекций.

2. Расстояние от горизонтальной

проекции точки до х₁₂ равно расстоя-нию от самой точки до П₂.

3. Если одна из проекций точки при-надлежит оси х₁₂, то сама точка принад-

лежит одной из плоскостей проекций.

Рис.8.8. Геометрическая модель

точки А в системе трёх плоскостей

проекций

Рис.8.9. Трехкартинные чертежи

различных точек

8.2.2. Трёхкартинный комплексный

чертёж точки

Геометрические модели точек в системе трёх плоскостей проекций

Аппарат получения трёхкартинного комплексного чертежа образуется до-полнением аппарата получения двух-картинного чертежа (см. рис. 8.1) треть-ей, профильной плоскостью проекций (см. рис.8.4). При этом практически тре-тья проекция точки является как бы ис-комой при двух заданных. Отсюда вы-текает постановка важной построите-льной графической задачи: по двум за-данным проекциям объекта постритьего третью проекцию.

Решение этой задачи даёт дополнительную или избыточ-ную информацию о структуре объекта к той необходимой и достаточной, т.е., оптималь-ной информации, которой об-ладают две данные проекции.

Можно также сказать, что

процесс построения третьей

проекции по двум заданным

является процессом п р е о б-

р а з о в а н и я заданных проекций в искомую.

Так как в аппарате полу-чения трёхкартинного компле-ксного чертежа (см. рис.8.4) биссектор-ные плоскости d и g углов совмещения П₁ и П₃ с П₂ º П¢ практически заменяют плоскости проекций П₁ и П₃, то геоме-трическая модель точки А в системе трёх плоскостей проекций приобретает вид, приведенный на рис. 8.8.

Графические модели точек

в системе трёх плоскостей проекций

Определение 8.6. Графическая модель точки в системе трёх плоскостей проекций называется т е р н а р-

н о й.

Определение 8.7. Вся-кая тройка точек как три вершины прямоугольника линий связи, четвёртая вершина которого прина-длежит постоянной пря-мой трехкартинного комплексного

чертежа, называется тернарной мо-

моделью одной точки эвклидова про-странства (рис.8.9).

Изобразительные свойства трёхкартинного комплексного чертежа точки (см. рис.8.9)

Независимо от того, где расположе-на точка А:

1. её горизонтальная проекция А₁ и фронтальная проекция А₂ всегда рас-

полагаются на одной вертикальной линии связи;

2. её фронтальная проекция А₂ и профильная проекция А₃ всегда рас-полагаются на одной горизонтальной линии связи;

3. её горизонтальная А₁ и про- фильная А₃ проекции всегда взаимо-связаны двухзвенной ломаной линией связи с точкой излома на постоянной прямой k₁₂₃ трёхкартинного комплекс-ного чертежа.