С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)

Рассмотрим некоторые понятия:

сверткой двух функций f(t) и g(t) называется интеграл

.

Этот интеграл является функцией переменной t.

Свертка коммутативна f*g=g*f.

Если f и g – оригиналы, то и f*g тоже оригинал.

Операции свертки оригиналов соответствует произведение изображений.

.

Это и есть теорема умножения изображений Бореля.

Доказательство:

.

Рассмотрим это выражение как двойной интеграл по бесконечной области D (рис.4.6).

Пределы интегрирования:

по от до ;

по t от 0 до .

Изменим порядок интегрирования

ч.т.д.

Рассмотрим специальный случай теоремы умножения. Найдем оригинал изображения pF(p)G(p)

, тогда по теореме Бореля

Эта формула носит название интеграл Дюамеля.