Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Применяется для расчета вероятностей, если проводимые испытания имеют бесконечное число элементарных исходов.

Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно , т.е.

(1.8)

Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры . На фигуру наудачу брошена точка. Вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно , т.е.

(1.9)

Формулы (1.8), (1.9) определяют геометрическую вероятность. Аналогичную формулу можно получить и для трехмерного пространства.

Пример. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течении установленного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Решение. Обозначим моменты прихода лица А через и лица В через . Для того, чтобы встреча произошла, должно выполниться условие . Изобразим и как координаты точки плоскости. В качестве единицы масштаба выберем минуту.

Возможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60, а благоприятствующие встрече исходы расположатся в заштрихованной области.

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата