Студент a студент б

Вступ

Більшість застосувань у програмній індустрії працюють з масивами даних, забезпечення роботи з якими покладається на системи управління баз даних.

Відношення та спеціальні оператори, операції з ними є базою реляційної алгебри, тобто формальною основою реляційної моделі баз даних.

2. Реляційна модель даних та відношення

На сьогодні більше половини програмних застосунків працюють з базами даних (БД) для збереження внутрішньої та зовнішньої інформації, що може мати складну структуру. У 1970 Едгаром Коддом розроблено реляційну модель даних - логічну модель даних для опису структури даних у вигляді наборів відношень, котрі можуть змінюватися у часі.

Правила роботи з реляційною моделлю описано у логіці першого порядку, зокрема у реляційній алгебрі.

Реляційна модель, як особливий метод опису даних, містить і власне дані (у вигляді відношень, або ж таблиць), і способи роботи та маніпуляції із ними (у вигляді зв'язків). Реляційна модель структурно містить три концептуальні елементи:

· структуру даних, тобто спосіб подання інформації;

· обробку даних, тобто можливі операції над відношеннями;

· спеціальні правила, що забезпечують цілісність даних.

Основними поняттями реляційної алгебри є відношення та оператори. Відношення розглядається як набір елементів БД, об’єднаних за спільною ознакою. До відношень застосовуються дії – оператори. Схема відношення містить ім’я та список атрибутів . Зауважимо, що список атрибутів у схемі невпорядкований і множина значень кожного атрибуту наперед визначена.

Розглянемо приклад реляційного представлення даних.

Приклад 2.1. Задано відношення СТУДЕНТ А, яке містить інформацію про студентів університету, що зображено у табл. 2.1.

Таблиця 2.1. Студенти університету.

Прізвище	Ім’я	Група
Плюта	Назар	ПІ-31
Строгуш	Василь	ПІ-32
Сава	Олег	ПІ-32
Смірнов	Всеволод	ПІ-31
Телемко	Андрій	ПІ-32

Відношення СТУДЕНТ A задане на трьох множинах — множині прізвищ, множині імен і множині груп. Відношення СТУДЕНТ A можна задати списком його елементів:

СТУДЕНТ A ((Плюта, Назар, ПІ-31), (Строгуш, Василь, ПІ-32),..., (Телемко, Сергій, ПІ-32)).

Введемо умовні позначення та імена для стовбців та рядків у БД аналогічного типу.

Означення 2.1.Кортежами у реляційній алгебрі називаються елементи відношення.

Кортежі відповідають рядкам таблиці, такі як (Плюта, Назар, ПІ-31) і (Строгуш, Василь, ПІ-32).

Означення 2.2. Доменами називаються множини або області даних, на яких визначено відношення.

Домени відповідають стовпцям таблиці. У попередньому прикладі домени - це множина прізвищ, множина імен і множина груп.

Означення 2.3. Найменування стовпців таблиці називають атрибутами.

У прикладі – це Прізвище, Ім’я, Група.

Означення 2.4. Схемою відношення є список атрибутів.

Наприклад, СТУДЕНТ A (Прізвище, Ім’я, Група).

Зобразимо у вигляді таблиці – схему відношення СТУДЕНТ A (рис.2.1.).

Рис. 2.1. Схема відношення СТУДЕНТ А

Розглянемо тепер операції над відношеннями. У якості базису реляційної алгебри вибрано оператори – об’єднання, перетин, різниця, декартовий добуток, вибірка, проекція, з'єднання, ділення.

Усі оператори класифіковано на дві групи – основні теоретико-множинні операцій над відношеннями та спеціальна реляційні оператори.

Таким чином, у базах даних операції можна розділити на такі як:

· теоретико-множинні операції, що застосовуються для перетворення відношень у базі даних, використовуючи терміни реляційної алгебри.

· спеціальні реляційні операції: селекція, проекція, з'єднання і ділення.

· прості операції із заповнення таблиці. Для зміни вмісту таких таблиць у базах даних використовують операції додавання, видалення кортежів і зміни значення атрибутів;

· допоміжні операції – присвоєння, перейменування атрибутів, тощо.

Означення 2.5. Відношення, до яких застосовується операція, будемо називати відношеннями- операндами;

3. Теоретико-множинні операції реляційної алгебри

Дамо означення операторів реляційної алгебри.

Означення 3.1.Об'єднання відношень. При виконанні операції об'єднання двох відношень () одержуємо відношення, що включає всі кортежі, які входять хоча б в одне з відношень-операндів.

Означення 3.2.Перетинвідношень. При виконанні операції перетину двох відношень () одержуємо відношення, що включає тільки ті кортежі, які входять в обидва відношення-операнда.

Означення 3.3.Різниця відношень. Відношення, яке є різницею (\) двох відношень, включає всі кортежі, що входять до відношення перший операнд, такі, що жоден з них не входить до відношення, яке є другим операндом.

Усі наведені операції мають зміст для відношень, що визначені на однакових доменах.

Приклад 3.1. Розглянемо два відношення СТУДЕНТ A і СТУДЕНТ Б.

СТУДЕНТ A СТУДЕНТ Б

Прізвище	Ім’я	Група		Прізвище	Ім’я	Група
Плюта	Назар	ПІ-31		Плюта	Назар	ПІ-31
Строгуш	Василь	ПІ-32		Смірнов	Всеволод	ПІ-31
Сава	Олег	ПІ-32		Том’як	Оксана	ПІ-31
Смірнов	Всеволод	ПІ-31		Чуловський	Андрій	ПІ-32
Телемко	Сергій	ПІ-32		Шевчишик	Богдан	ПІ-31

а) Виконаємо операцію перетин для заданих двох відношень СТУДЕНТ A СТУДЕНТ Б:

Прізвище	Ім’я	Група
Плюта	Назар	ПІ-31
Смірнов	Всеволод	ПІ-31

б) Виконаємо операцію різниця для заданих двох відношень СТУДЕНТ A \ СТУДЕНТ Б

Прізвище	Ім’я	Група
Строгуш	Василь	ПІ-32
Сава	Олег	ПІ-32
Телемко	Сергій	ПІ-32

в) Виконаємо операцію об’єднання для заданих двох відношень ВСІ СТУДЕНТИ = СТУДЕНТ A СТУДЕНТ Б

Прізвище	Ім’я	Група
Плюта	Назар	ПІ-31
Строгуш	Василь	ПІ-32
Сава	Олег	ПІ-32
Смірнов	Всеволод	ПІ-31
Телемко	Сергій	ПІ-32
Том’як	Оксана	ПІ-31
Чуловський	Андрій	ПІ-32
Шевчишик	Богдан	ПІ-31

Розглянемо операцію, яка є декартовим або прямим добутком відношень.

Означення 3.4.Прямий добуток відношень. При виконанні прямого добутку (х) двох відношень одержуємо відношення, множина кортежів якого є декартовим добутком множин кортежів першого і другого операндів. Розглянемо відношення КУРС

Навч. рік	Курс
2010-2011
2011-2012

г) Результат прямого добутку відношення СТУДЕНТ A х КУРС

Прізвище	Ім’я	Група	Навч. рік	Курс
Плюта	Назар	ПІ-31	2010-2011
Плюта	Назар	ПІ-41	2011-2012
Строгуш	Василь	ПІ-32	2010-2011
Строгуш	Василь	ПІ-42	2011-2012
Сава	Олег	ПІ-32	2010-2011
Сава	Олег	ПІ-42	2011-2012
Смірнов	Всеволод	ПІ-31	2010-2011
Смірнов	Всеволод	ПІ-41	2011-2012
Телемко	Сергій	ПІ-32	2010-2011
Телемко	Сергій	ПІ-42	2011-2012

4. Спеціальні операції реляційної алгебри.

Означення 4.1.Вибірка відношення. Результатом вибірки відношення () за деяким атрибутом або атрибутами, є відношення, що складається в точності з тих кортежів, які задовольняють умову .

Виконаємо вибірку відношення ВСІ СТУДЕНТИ за атрибутом Група = ПІ-31. Назвемо результат — СТУДЕНТ ПІ-31. В результаті одержимо відношення, що містить тільки кортежі, в яких значення атрибута Група дорівнює ПІ-31.

СТУДЕНТ ПІ-31= (ВСІ СТУДЕНТИ)

Прізвище	Ім’я	Група
Плюта	Назар	ПІ-31
Смірнов	Всеволод Д	ПІ-31
Том’як	Оксана	ПІ-31
Шевчишик	Богдан	ПІ-31

Означення 4.2.Проекція відношення. Під час виконання проекції () відношення на заданий набір його атрибутів результат виходить шляхом видалення з відношення-операнда атрибутів, не вказаних у заданому наборі.

Виконаємо проекцію відношення СТУДЕНТ A х КУРС за атрибутами Група, Навч. рік, Курс.

а) (СТУДЕНТ A х КУРС)

Група	Навч. рік	Курс
ПІ-31	2010-2011
ПІ-41	2011-2012
ПІ-32	2010-2011
ПІ-42	2011-2012

Виконаємо проекцію відношення СТУДЕНТ ПІ-31 за атрибутами Прізвище, Імена.

б) ПРІЗВИЩЕ СТ ПІ-31 = (СТУДЕНТ ПІ-31)

Прізвище	Ім’я
Плюта	Назар
Смірнов	Всеволод
Том’як	Оксана
Шевчишик	Богдан

Означення 4.3.Натуральне (природнє) з'єднання відношень. У натуральному з'єднанні двох відношень утворюється результуюче відношення, кортежі якого є з'єднанням кортежів першого і другого відношень, якщо значення спільних атрибутів співпадає.

Розглянемо відношення НОМЕР.

НОМЕР

Прізвище	Ім’я	Залікова книжка №	Студ. №
Плюта	Назар
Строгуш	Василь
Сава	Олег
Смірнов	Всеволод
Телемко	Сергій
Том’як	Оксана
Чуловський	Андрій
Шевчишик	Богдан

Виконаємо натуральне з'єднання відношень СТУДЕНТ ПІ-31 і НОМЕР.

в) СТУДЕНТ ПІ-31 НОМЕР

Прізвище	Ініціали	Група	Залікова книжка №	Студ. №
Плюта	Назар	ПІ-31
Смірнов	Всеволод	ПІ-31
Том’як	Оксана	ПІ-31
Шевчишик	Богдан	ПІ-31

Означення 4.4.Умовне з’єднання відношень. В умовному з'єднанні двох відношень утворюється результуюче відношення, кортежі якого є з'єднанням кортежів першого і другого відношень, для яких виконується задана умова.

Розглянемо відношення ОЛІМПІАДА, у якому збережена інформація про студентів, які приймали участь у олімпіаді і відношення КОНКУРС, у якому збережено інформацію про студентів, які подали свою кандидатуру на грант.

ОЛІМПІАДА КОНКУРС

Прізвище	Ім’я	Місце		Прізвище	Ім’я
Плюта	Назар			Телемко	Сергій
Смірнов	Всеволод	-		Том’як	Оксана
Телемко	Сергій			Строгуш	Василь
Том’як	Оксана			Сава	Олег
Чуловський	Андрій	-		Чуловський	Андрій

Знайдемо список студентів, які перемогли у олімпіаді, але не подали свої документи на грант.

г) ОЛІМПІАДА [ ОЛІМПІАДА. Прізвище КОНКУРС. Прізвище ОЛІМПІАДА. Місце “—” ] КОНКУРС

Прізвище	Ім’я	Місце
Плюта	Назар

Означення 4.5.Ділення відношень. Операція ділення відношень () відбувається таким чином. Відношення — дільник повинно мати набір атрибутів, які включені до набору атрибутів діленого. Результуюче відношення містить ті атрибути діленого, які не присутні в дільнику. Значення цих атрибутів беруться з тих кортежів діленого, які включають до себе кортежі дільника. Тепер виконаємо ділення відношення НОМЕР на відношення ПРІЗВИЩЕ СТ ПІ-31.

д) В результаті ділення НОМЕР ПРІЗВИЩЕ ми одержуємо таблицю номерів студентів групи ПІ-31.

Залікова книжка №	Студ №

Операція ділення відношень потребує докладнішого пояснення, оскільки найбільш важка для розуміння. Розглянемо відношення ІМЕНА.

Ім’я

Назар

Василь

Сергій

В результаті ділення НОМЕР ІМЕНА ми одержуємо відношення, яке містить тільки ті кортежі, які мають “спільні” частини у атрибутах Ім’я та Група.

НОМЕР ІМЕНА

Прізвище	Залікова книжка №	Студ. №
Плюта
Строгуш
Телемко