Основи побудови зображень. Ортогональні проекції точки

Метод побудови плоского зображення (кресленика) за допомогою ортогонального проекціювання на дві площини проекцій був запропонований французьким вченим Гаспаром Монжем (1746-1818 рр.).

На рисунку 1.1а зображено дві взаємно перпендикулярні площини: П ₁ - горизонтальна площина проекцій, П ₂ - фронтальна площина проекцій. Вони перетинаються по прямій x ₁₂, яка називається віссю проекцій.

Площини проекцій П ₁ і П ₂ поділяють простір на чотири чверті.

Щоб отримати горизонтальну А ₁ та фронтальну А ₂ проекції точки А, необхідно опустити з точки А перпендикуляри, відповідно, на П ₁ та П ₂.

А ₁₂ - проекція точки А на вісь x ₁₂.

Дві ортогональні проекції точки А (А ₁, А ₂) визначають положення точки в просторі. Такий рисунок є позиційно повним та метрично визначеним, він визначає форму та розміри зображуваної фігури. Проте, оскільки просторова фігура є тривимірною, а також у зв'язку з тим, що за двома зображеннями незавжди просто визначити конструкцію складного об'єкта, то доцільно буде давати ще й проекцію на третю площину (наприклад, профільну площину проекцій П ₃, яка перпендикулярна до П ₁ та П ₂ (рис. 1.1. б)).

Рис. 1.1. Побудова проекцій точки А на П 1 та П 2 (а) і точки В на П 1, П 2 та П 3 (б)

При побудові системи з трьох прямокутних проекцій (плоске зображення) площину П ₂ вважають нерухомою, а площини П ₁ і П ₃ суміщають з нею обертанням навколо осей x ₁₂ та z ₂₃ відповідно, рис. 1.2.

В результаті перетину трьох площин проекцій отримують декартову систему координат.

Якщо задані три координати точки, то легко побудувати її ортогональні (прямокутні) проекції. На рисунку 1.3а показано дві проекції (А ₁, А ₂) точки А з координатами x _А, y _A, z _А. Побудова профільної проекції (А ₃) точки А виразно показана на рисунку.

Рис. 1.2. Перехід від просторового зображення побудови проекцій точки до плоского

В подальшому при розв'язанні різних задач на рисунках площини проекцій не обмежують, а їх назви також не показують, рис. 1.3б.