Базисах

Теорема. Если х₁, x₂, …, x_n – координаты вектора в базисе , , …, ; х₁¢, x₂¢, …, x_n¢ - координаты того же вектора в базисе , , …, , то

Х = Т Х¢, (3)

где

Х = , Х¢ = ,

Т – матрица перехода от базиса , , …, к базису

, , …, .

Замечание. Формулы (3) выражают старые координаты х₁, x₂, …, x_n вектора через его новые координаты. Для того, чтобы получить формулы, выражающие новые координаты через старые, достаточно умножить равенство (3) на матрицу Т^-1; после простых преобразований получим: Х¢ = Т^-1 Х.

1.11.Что называется линейным преобразованием?

Если указано правило, по которому каждому вектору линейного пространства V ставится в соответствие единственный вектор этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор) f и пишут f: V ® V. Говорят также, что преобразование f переводит вектор х в вектор и пишут = f ().

Преобразование f линейного пространства V называется линейным преобразованием (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства , , и любого действительного числа l выполняются условия:

1. f ( + ) = f () + f ().

2. f (l ) = l f ().