Закон больших чисел Чебышева

ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем.

В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.

Частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.

Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин , имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.

То есть, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на .

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).

Оглавление.

1. Леммы Чебышева.

2. Закон больших чисел Чебышева.

3. Частный случай закона больших чисел Чебышева.

4. Закон больших чисел Бернулли.

1. Леммы Чебышева.

В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву.

Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда

Доказательство: Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x₁, x₂,..., x_n, при условии . По аксиоме сложения вероятностей имеем

где суммирование распространено на все значения x_i, большие или равные единице. Но для , очевидно,

Поэтому

(50)

где x_i<1. Эта сумма неотрицательна, так как все по условию, а вероятности . Поэтому

(51)

Последняя сумма распространена на все значения x_i, принимаемые случайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:

Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем

Тем самым лемма доказана.

Лемма 2. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности

(52)

Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.

Доказательство: Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству то

Случайная величина неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,

так как _.

Поэтому

(53)

Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то

Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим

Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение.

Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы ни было , справедливо соотношение

(54)

Доказательство: Обозначим через величину , т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина имеет математическое ожидание

и дисперсию

(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине вторую лемму Чебышева, найдем, что

т.е.

так как при любом i и, следовательно,

Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим

Переходя к пределу при , имеем

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем.

В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.