Приближения формулы Бернулли

При больших значениях n подсчет вероятностей по формуле (2.4) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться приближенными формулами.

1. Локальная формула Муавра-Лапласа.

(2.6)

где не равно нулю и единице, , а

. (2.7)

Формула (2.6) выражает так называемую локальную теорему Лапласа (П. Лаплас (1749—1827) — французский математик и астроном.). Точность этой формулы повышается с возрастанием n.

Функция формула (2.7), как мы увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей (см. рис. 2.1). Ее значения при различных значениях аргумента приведены в Приложении (см. табл. I). Она представляет собой функцию вероятности нормального распределения (мы еще вернемся к ней). При , , поэтому функция затабулирована для .

Пример 11. Игральную кость бросают 80 раз. Определить вероятность того, что цифра 3 появится 20 раз.

Решение: Здесь m=20; n=80; p=1/6; q=1-1/6=5/6; далее находим

Используя формулу (15), получим

так как из табл. I находим, что .

2. Если то используют так называемую формулу Пуассона

(2.8)

Пример 12. Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие - 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

а) 3 изделия;

б) 1 изделие;

в) не более трех изделий.

Решение. Имеем и , поэтому применяем формулу Пуассона.

а) : .

б) : .

в) :

3. При больших значениях , для вычисления вероятности того, что произойдет от до событий по схеме Бернулли, используется интегральная формула Муавра-Лапласа:

где ,

(2.9)

- функция Лапласа (см. рис. 2.2.).

К функции Лапласа мы еще не раз будем обращаться, а пока отметим, что имеет следующие свойства.

1) - функция нечетная, поэтому достаточно применять ее для неотрицательных значений ;

2) функция возрастает на всей числовой оси;

3) при , ( - горизонтальная асимптота при ), поэтому функция представлена в виде таблицы для (Прил. I);

4) вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число равна:

Пример 13. Стрелок выполнил выстрелов, вероятность одного попадания . Найти вероятность того, что он попадет от до раз.

Решение. Согласно интегральной формуле

, где

Пример 14. В каждом из независимых испытаний вероятность успеха . Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности по абсолютной величине не более чем на .

Решение. , следовательно

Пример 15. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности окажется по абсолютной величине не больше чем на ?

Решение. По условию . Отсюда

.