Примеры счетных множеств

Множество целых чисел Z является счетным (Z ~ N).

Доказательство.Пронумеруем числа из Z:

Рациональные числа R образуют счётное множество.

Доказательство.

Любое рациональное число можно представить в виде: , mÎZ, nÎN.

Введем понятие высоты h рационального числа: h = |m| + n.

Каждой высоте соответствует конечное число рациональных чисел:

h = 1: .

h = 2: .

h = 3: .

h = 4 …

Приписывая последовательно этим рациональным числам номера 1, 2, 3… мы пронумеруем все рациональные числа. Следовательно, множество рациональных чисел счетно согласно определению.