Пример решения задачи на равновесие потребителя с использованием множителей Лагранжа

Надеюсь, вам облегчит жизнь тот разбор, который я привожу ниже. Я нашла его в одном из задачников – и пока это лучшее, что я смогла для вас найти. Боюсь, до понедельника больше я ничего уже не успею.

Искренне желаю вам, чтобы остальные задачи в контрольной работе были больше на понимание, а не на сложную математику.

Пример задачи на поиск равновесия потребителя:

Определите, какое количество товаров A и B будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если его доход I=45 д.е., цена товара A Pa=1,5 д.е., цена товара B Pb=7, 5 д.е.

Функция полезности имеет вид .

Дано:

I=45

Pa=1,5

Pb=7,5

Найти:

A=?

B=?

Решение:

Бюджетное ограничение имеет вид:

1,5*A+7,5*B=45

Для поиска минимума самой верхней кривой безразличия (то есть точки касания самой верхней кривой безразличия и линии бюджетного ограничения) составляем функцию Лагранжа:

Как вы заметили, при составлении функции Лагранжа используются обе функции, в точке касания графиков которых ищется минимум). λ – (лямбда) – это множитель Лагранжа, благодаря которому можно составить функцию Лагранжа из уравнений двух функций, графики которых имеют точку касания.

Далее по методу Лагранжа нужно найти первые производные функции Лагранжа по всем неизвестным переменным, то есть по A, B, λ (если вы напряжётесь и вспомните старшие классы школы, то производная как раз и характеризовала значение функции в точки – а именно его мы и ищем). Итак:

Я очень надеюсь, что вы помните, как искать производные и понимаете, почему они здесь получились именно так. Но если вдруг нет – дайте знать, вот именно тут ничего сложного как раз нету.

Двигаемся дальше по методу Лагранжа:

Приравняем первые производные к 0 и получим систему вида:

Вы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Выражая неизвестные одно через другое, вы сможете найти все три неизвестных. Но нас интересуют только два из них – А и В, множитель λ – вспомогательная величина.

Решая полученную систему, находим, что:

А=45/39

B=225/39

Ответ: потребитель, чтобы максимизировать полезность, будет приобретать 45/39 единиц товара A и 225/39 единиц товара B.

Резюме:

Чтобы использовать метод множителей Лагранжа для поиска равновесного выбора потребителя, вам нужно знать:

1. уравнение полезности для потребителя (U(A,B)=…)

2. цены на товары A и В (Pa и Pb)

3. уровень дохода потребителя (I)

4. уравнение линии бюджетного ограничения (I=Pa*A+Pb*B)

Дальше вы выполняете следующий набор действий:

1. Составляете функцию Лагранжа, которая будет иметь вид:

2. Находите первые производные относительно переменных A, B и λ

3. Полученные три производных приравниваете к нулю и получаете систему уравнений.

4. Решаете систему уравнений, находите значения всех неизвестных.

5. λ – вспомогательный множитель, который вам больше не нужен, а вот найденные значения А и В – и есть те объёмы товаров А и В, при которых потребитель достигает оптимума своих потребностей при имеющихся возможностях. То есть получается равновесный выбор потребителя.

По-прежнему желаю вам успехов и искренне верю в то, что вы будете как можно больше думать головой и как можно меньше заучивать в тупую.

Ваша М.А.