Решение. · Для построения линии пересечения поверхностей применим способ вспомогательных концентрических сфер

· Для построения линии пересечения поверхностей применим способ вспомогательных концентрических сфер, поскольку выполняются три условия применяемости метода сфер.

Рис. 128

Расстояние от проекции О ', в которой оси цилиндра и тора пересекаются, до проекции 1 ', определяет радиус наибольшей сферы R _max., при помощи которой можно получить точки в пересечении заданных поверхностей (см. рис. 129, 130, 131).

Рис. 129

Сферы диаметра большего, чем R _max не определяют точки пересечения поверхностей.

Сфера наименьшего радиуса R _min, дающая точки пересечения поверхностей, является касательной к одной из поверхностей. Для того чтобы определить радиус такой сферы, необходимо построить нормали из точки пересечения осей к очерковым линиям пересекающихся поверхностей. Пример построения нормалей приведен на рис 129. Нормаль к поверхности цилиндра перпендикулярна к его очерку, нормаль к поверхности тора соединяет центр окружности, образующей тор − О'₁ и точку О' ‑ центр вспомогательных сфер.

Построим линию пересечения цилиндра и тора. Начнем построение линии пересечения геометрических тел с точки 1 и точки 2 – точек пересечения главного меридиана цилиндра и конуса, которые очевидно принадлежат обеим поверхностям. Фронтальные проекции точек 1 и 2 – 1 ', 2 '. Это точки пересечения фронтальных очерков поверхностей.

Для построения точек линии пересечения поверхностей построим ряд вспомогательных сфер с центром в точке О, радиус которых меньше, чем R _max = 47.47мм, но больше чем R _min =35мм.

Например, построим сферу радиусом 40мм, которая пересекает цилиндр по окружности, проецирующейся в отрезок c ' d ', перпендикулярный оси цилиндра, а тор по окружности, проецирующейся в отрезок a ' b ', перпендикулярный оси тора (рис.130). На пересечении отрезков c ' d ' и a ' b ' получим – 4 '= 3 ' фронтальную проекцию точек 3=4.

Аналогично построим фронтальные проекции точек 5,6,7,8. Соединим 1 ', 2', 3 ', 4 ', 5 ', 6', 7', 8' кривой линией. Эта линия и будет фронтальной проекцией линии пересечения заданных тел. Полученные точки 1, 2, 4, 6, 8 лежат на видимой поверхности тел. Точки 3, 5, 7, 9 – точки невидимой части линии пересечения симметричны им относительно плоскости, проходящей через оси вращения тел. Фронтальные проекции видимой и невидимой части линии пересечения поверхностей совпадают.

Рис. 130

Горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей построим при помощи параллелей, принадлежащих поверхности тора. Из фронтальных проекций точек линии пересечения – 1 ', 2', 3 ', 4 ', 5 ', 6', 7', 8', проведем вертикальные линии связи до пересечения с соответствующими горизонтальными проекциями параллелей.

Например, радиус параллели, которой принадлежат точки 3,4, определяет расстояние от a ' до фронтальной проекции оси тора (рис. 126). В пересечении вертикальных линий связи и соответствующих параллелей получим горизонтальные проекции точек линии пересечения – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Соединим их с учетом видимости горизонтальных проекции поверхностей тора и цилиндра. Точки изменения видимости горизонтальной проекции линии пересечения – это точки 9 и 10 − точки, принадлежащие горизонтальному очерку цилиндра. Часть горизонтальной проекции линии пересечения, соединяющая 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, будет видимой, так как её фронтальная проекция находится выше проекции 9 '= 10 '. Часть горизонтальной проекции линии пересечения, соединяющая 2, 7, 8, 9, 10 будет невидимой, так как её фронтальная проекция находится ниже проекции 9 '= 10 '.

Рис. 131

Части фронтальной очерковой линии поверхности тора, находящиеся внутри фронтальной проекции цилиндрической поверхности, являются невидимыми линиями. Части фронтальной очерковой линии поверхности цилиндра, находящиеся внутри фронтальной проекций торовой поверхности, являются невидимыми линиями. Аналогично определяют видимость горизонтальных очерковых линий поверхностей.