Поэтому в произвольной точке сечения

(1)

Q_x, Q_y, M_k вызывают в сечении касательные напряжения t.

Результирующую t находят геометрическим сложением

Как правило, и невелики и поэтому их не учитывают

Рассмотрим некоторые практически важные случаи сложного сопротивления.

КОСОЙ ИЗГИБ

Косым изгибом называют такой случай изгиба бруса, при котором все нагрузки лежат в одной плоскости (силовой плоскости), причём она не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса.

Величину М _изг можно определить как обычно, методом сечений.

Разложим на составляющие относительно осей х и у.

Момент считается положительным, если он вызывает растягивающие напряжения в первом квадранте сечения (в нашем случае М_х и М_у положительны).

Нормальное напряжение в точке А с координатами х и у согласно (1) будет:

Или (*)

Уравнение Н.Л. получаем из (*), полагая :

откуда

Это – уравнение прямой, проходящей через начало координат. Угловой коэффициент наклона Н.Л. к оси Х:

Отсюда видно, что угол b не равен углу a, так как в общем случае .

Поскольку изгиб происходит в плоскости, перпендикулярной Н.Л., то брус изгибается не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости.

Отсюда и название – косой изгиб.

Наибольшее напряжение s возникает в точках, наиболее удалённых от Н.Л. Если сечение сложное, то эти точки А (х ₁, у ₁) и В (х ₂, у ₂) находят, проводя линии, касательные к контуру сечения и параллельные Н.Л.

Условия прочности в этих точках будут:

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ - СЖАТИЕ

Внецентренным растяжением – сжатием называют нагружение бруса двумя равными силами, действующими вдоль линии, параллельной оси бруса, но не проходящей через центр тяжести поперечного сечения.

X и Y – главные центральные оси сечения.

Z – продольная центральная ось.

x_p и y_p – координаты точки приложения силы Р.

В любом поперечном сечении действуют:

Напряжение s в произвольной точке сечения согласно (1) будет:

или (*)

Введём обозначения: - радиусы инерции относительно осей X и Y. Тогда формула для s принимает вид:

(**)

Для определения опасной точки при сложной форме поперечного сечения нужно вначале построить нейтральную линию в сечении, а затем найти точку, наиболее удалённую от Н.Л.

Уравнение Н.Л. получим из (**), полагая s = 0:

(***)

Уравнение (***) есть прямая, не проходящая через начало координат. Полагая поочерёдно и , найдём отрезки и , отсекаемые нейтральной линией на осях X и Y.

Знаки отрезков и , противоположны знакам соответствующих координат силы Р. Значит, Н.Л. и точка приложения силы Р всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.

Отложив и на осях координат,и проведя через полученные точки прямую, получим Н.Л. Затем, проведя касательные к контуру сечения, параллельные Н.Л. найдём наиболее напряжённые точки А И В в растянутой и сжатой зонах. Условия прочности для этих точек имеют вид:

ЯДРО СЕЧЕНИЯ

Ядром сечения называется замкнутая область внутри сечения. Если по контуру ядра или внутри него прикладывать продольную силу, то во всех точках сечения будут возникать напряжения s только одного знака.

Чтобы построить ядро сечения, нужно пред- ставить,что нейтральная линия “обкатывается” вокруг контура сечения. Тогда точка А приложения силы вычертит контуры ядра.

Если точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, то Н.Л. стремится к бесконечности.

Формы ядер для различных сечений

СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ НА БРУС

КРУГЛОГО ИЛИ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ.

В таких условиях работают валы различных двигателей, машин, редукторов.

Построим эпюры ВСФ на всей длине стержня.

1-й участок: , , .

2-й участок: , , , , .

Q_x и Q_y учитывать не будем, т.к. напряжения от них невелики.

Строим эпюры ВСФ согласно записанным выражениям для обоих участков.

Опасным сечением будет такое, в котором возникает наиболее неблагоприятное сочетание ВСФ. В нашем случае – сечение заделки, в котором действуют:

, , .

При сложном нагружении бруса силами, действующими в разных плоскостях, могут возникать несколько опасных сечений. Дальнейшее решение покажет, какое из сечений является наиболее опасным. В этом случае приходится параллельно вести несколько расчётов.

Результирующий изгибающий момент в сечении заделки:

Поскольку в круглом сечении , то нейтральная линия (Н,Л,) перпендикулярна вектору изгибающего момента . Наибольшие s возникают в наиболее удалённых от Н.Л. точках А и В:

Наибольшие касательные напряжения t_max возникают от действия M_k .

Они возникают во всех точках на окружности поперечного сечения. Значит, наиболее опасными точками в сечении заделки являются точки А и В, где действуют и . Выделим элемент вокруг точки А и покажем напряжения на его гранях. Видим, что этот элемент находится в упрощённом плоском напряжённом состоянии. Главные напряжения будут:

; (1)

Определим диаметр стержня по различным теориям прочности. Если стержень выполнен из пластичного материала, то:

– по 3-ей теории прочности (2)

Подставляя в формулу (2) значения из (1), получаем:

(3)

– по 4-ой теории прочности (4)

Подставляя в формулу (4) значения из (1), после вычислений получим:

(5)

Учитывая, что , из (1) и (2) получим:

(6)

где (7)

Проделав аналогичные вычисления с формулой (5), получим:

(8)

Таким образом, условие прочности по обоим теориям будет

(9)

где определяется по формуле (7) или (8).

Если стержень выполнен из хрупкого материала, то нужно применить условие прочности по Мору. Тогда в формуле (9) величина будет:

(10)

Из условия прочности (9) легко найти диаметр стержня по любой теории прочности:

– для стержня сплошного круглого сечения,

– для стержня кольцевого сечения.