Примеры. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39»

Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2 , следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2 , а площадь 6

D x C

6	2	6
2	x2	2
6	2	6

A х B

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х) и четырех пристроенных квадратов(6 ), т.е.

S = х² + 10х = 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 – 2 – 2 = 3

2. А вот, например, как древние греки решали уравнение

у² + 6у – 16 = 0.

Решение представлено на рис., где

у² + 6у = 16, или у² + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у² + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = – 8.

у у 3

у2	3у
3у

3. Решить геометрически уравнения у² – 6у – 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у² – 6у = 16.

На рис. находим «изображения» выражения у² – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.

Значит, если к выражению у² – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у² – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)² = 16 +9, т.е. у – 3 = ± или у – 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = – 2.

у у 3

у – 3 у – 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В древние времена для решения практических задач использовались знания геометрии.

Рассмотрим задачу из «Алгебры» ал - Хорезми: «Квадрат и десять корней равны 39». Алгебраическая запись этого предложения имеет следующий вид: х² + 10х = 39. Для решения этого примера построим квадрат со стороной х. На сторонах квадрата построим прямоугольники так, что другая сторона каждого равна 2,5. Полученную фигуру достроим до квадрата, получив четыре маленьких квадрата со стороной 2,5. Получим квадрат АВСD. Найдем площади фигур: площадь исходного квадрата равна х2, площадь каждого прямоугольника равна 2,5х. Всего прямоугольников 4, значит их общая площадь равна 10х; достроенных квадратов тоже 4, значит их площадь равна 25. Площадь квадрата ABCD складывается из всех найденных площадей фигур, т.е. S=x² + 10x +25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 - 2,5 ∙ 2 = 3.