![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Средняя арифметическая, средняя геометрическая и другие средние — это своеобразная статистическая абстракция, поскольку они, отвлекаясь от истинных величин, отражают то общее, которое присуще всей совокупности изучаемых единиц в целом. Величина средних часто выражается дробными числами (22,6 правонарушителей, 105,8 исков и т. д.), которых в жизни не бывает. Наряду с абстрактными средними в статистике используются конкретные средние, величины которых занимают в ранжированном вариационном ряду, построенном в порядке возрастания или убывания значений вариант, определенное среднее положение. К таким средним относятся мода и медиана. В одних и тех же совокупностях мода и медиана иногда совпадают между собой по значению, но чаше не совпадают, хотя друг от друга отстоят, как правило, недалеко.
Таблица 5
Распределение уголовных дел по срокам рассмотрения
Сроки рассмотрения в судебном заседании, | Число уголовных |
дни | дел |
3 Мо | |
4 Me | |
Всего 400 |
Модой в статистике называется значение признака (варианта), которое чаше всего встречается в данной совокупности. Обозначим ее символом «Мо» и определим в вариационном ряду юридически значимых показателей (табл. 5).
Модой в данном примере будет варианта 3 дня, так как за этот срок было рассмотрено дел больше (85), чем за другие сроки.
В реальной жизни могут быть распределения, где все варианты встречаются примерно одинаково часто. В таких случаях мода не определяется, так как она практически отсутствует. В
других распределениях мода может быть не одна. Изменим наш пример. Предположим, что за 5 дней было рассмотрено столько же дел (85), как и за 3 дня. В этом случае две моды, а само распределение будет называться бимодальным. Оно, как правило, свидетельствует о качественной неоднородности совокупности по изучаемому признаку.
Мода применяется в тех изучениях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака.
Определение моды для интервального ряда несколько сложнее. Рассмотрим это на примере табл. 6.
Чтобы найти моду, надо определить модальный интервал данных рядов. Из таблицы видно, что наибольшая частота по числу раненых (23 917) соответствует интервалу от 21 до 25 лет, а по числу погибших (4112) -- интервалу от 31 до 35 лет (в этих обоих случаях мода набрана полужирным шрифтом). Названные интервалы и будут модальными.
Для расчета более точных значений модальных признаков, заключенных в этих интервалах, используют следующую формулу:
= ° '77-----7Y7J7-----М '
(/Mo-/l) + (/Mo-/2)
где Мо — мода; Х0 — минимальная граница модального интервала (в нашем примере это 21 — по раненым и 31 — по погибшим); /' — значение модального интервала
Таблица 6
Распределение числа пострадавших в ДТП по возрасту в 1995 г. (при разукрупнении некоторых интервалов данные рассчитывались)
Возраст жертв «от— до», лет | Число раненых | Кумулятивные частоты | Число погибших | Кумулятивные частоты |
1-5 | ||||
6-10 | ||||
11-15 | 10 274 | 24 804 | 2262 Мг | |
16-20 | 22 334 | 47 138 | ||
21-25 | 71 055 | |||
26-30 | 18 899 | 13 157 | ||
31-35 | 19 187 | 109 141 | ||
36-40 | 19 186 | 128 327 | 20 537 | |
41-45 | 13 000 | 141 327 | ||
46-50 | 11 000 | 152 327 | ||
51-55 | 161 327 | 27 337 | ||
56-60 | 168 327 | 29 137 | ||
61-65 | 173 321 | |||
Более 65 | 183 926 | |||
£/= 183 926 | £/= 32 791 |
(в нашем примере 5 лет); fMo — частота модального интервала (23 917 — по раненым и 4112 — по погибшим);/, — частота интервала, предшествующего модальному (в нашем примере 22 334 — по раненым и 3675 —- по погибшим);^ — частота интервала, следующего за модальным (18 899 — по раненым и 4110 — по погибшим).
Подставляя числовые значения, получаем:
23917-22 334
Мо (ран.) = 21+5
(23917-22 334)+ (23 917-18 899) = 21 + 5 • 0,24 = 21 +1,2 = 22,2 года.
= 21+5
1583 6601
Таким образом, мода для раненых равна 22 года и 2 месяца.
4112-3675. 437
= 31+5- 0,995 = 31+ 4,97 = 35,97 года.
Мода для погибших оказалась равной 35 лет 11 месяцев. Ее значение расположено на крайней отметке максимальной границы модального интервала. Это неслучайно. Следующий за модальным интервал (36—40 лет) имел варианту (4110), т.е. всего на 2 единицы меньше моды (4112).
Формула, используемая для нахождения модальной величины в модальном интервале, пригодна лишь для вариационных рядов с равными интервалами. В нашем примере мы путем некоторых среднеарифметических расчетов сделали их пятилетними. В реальной статистической отчетности ГАИ МВД РФ возрастные интервалы являются неравными. Для наглядности приведем фактическую таблицу распределения числа жертв ДТП по возрасту за тот же 1995 г., которая опубликована в официальном сбор*-нике (табл. 7).
Таблица 7 Распределение числя пострадавших в ДТП по возрасту в 1995 г.
Возраст жертв «от— до», лет | Число раненых | Кумулятивные частоты | Число погибших | Кумулятивные частоты |
1-7 | ||||
7-10 | ||||
11-15 | ||||
16-20 | 47 138 | |||
21-25 | 71 055 | |||
26-30 | 18 899 | |||
31-40 | 38 373 | 128 327 | ||
41-65 | 44 994 | 173 321 | ||
Более 65 | 183 926 | |||
2/=183926 | 5/=32 791 |
Вариационный ряд в данном случае является не только неравноинтервальным, но и статистически порочным, так как различия в интервалах так велики, что серьезно искажают реальную статистическую картину. От 11 до 30 лет интервал пятилетний (11-15; 16-20; 21-25; 26-30), от 7 до 10 лет — четырехлетний, от 1 до 7 — семилетний, от 31 до 40 лет — десятилетний и
от 41 до 65 лет — двадцатипятилетний. Согласно этой таблице (если пренебречь различием интервалов) модальным должен быть определен интервал от 41 до 65 лет, но он в 5 и более раз протяженнее остальных интервалов и его модальность — результат непрофессионально разработанной статистической отчетности.
Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине ранжированного ряда. Медиана делит упорядоченный ряд пополам. По обе стороны от нее находится одинаковое число единиц совокупности. Медиана обычно обозначается символом «Me». Упрощенным и условным примером нахождения медианы может служить вариационный ряд осужденных по возрасту.
Таблица 8 Распределение осужденных по возрасту (14—26 лет)
Возраст | 20 21 | 25 26 | |||||||||
Число осужденных | 150 160 Me | 175 Mo | 140 132 |
Медианой в этом дискретном ряду будет варианта «20 лет» с частотой 150 осужденных. По обе стороны от нее находится равное число единиц совокупности. Модой в этом ряду является варианта «22 года» с наибольшей частотой -- 175 осужденных. Если мы обратимся к таблице 5, то там медиана -- это срок рассмотрения дела в 4 дня с числом рассмотренных дел 80, а мода — срок в 3 дня и частотой 85 дел.
Если всем единицам любого ранжированного ряда придать порядковые номера, то номер медианы в ряду с нечетным чис-
п + 1 _
лом членов п определяется как -у-. В наших примерах: в первом
13 +1
случае (табл. 8), когда в ряду 13 членов, Me
• = 7, а во втором
7 + 1
случае (табл. 5) Me = —— = 4. В последнем примере число членов в
ряду четное. Медианой будет средняя из двух центральных вариант, порядковые номера которых я:2 и я:2 + 1. Например, если в ряду 20 единиц, то в центре стоят единицы с порядковым номером 10 и 11. Средняя из двух величин определяется по формуле средней арифметической. В подобных случаях в качестве медианы можно определить и одну варианту, если единиц в совокупности много и различия между ними незначительные.
В интервальном ранжированном ряду медиана, как и при нахождении моды, определяется вначале в виде медианного интервала, а затем в нем находится медиана по соответствующей формуле. Медианный интервал определяется по кумулятивным (накопленным) частотам, которые являются последовательной суммой предыдущих частот, начиная с интервала с меньшим значением признака. Кумулятивная частота для раненых (табл. 6) складывалась таким образом: для интервала от 1 до 5 лет она равна числу раненых этого возраста (4626), а для следующего интервала от 6 до 10 лет является суммой раненых (частот) в возрасте от 1 до 5 лет (4626) и от 6 до 10 лет (9904), т. е. 14 530. И так до конца ряда.
Общая сумма накопленных частот равна обшей сумме частот, в нашем примере — общему числу раненых (183 926). Медиана в таком ряду определяется путем деления общей суммы (всех накопленных) частот на 2. В нашем примере: 183 926: 2 = 91 963. Следовательно, медианным интервалом в анализируемом ряду раненых будет интервал от 31 до 35 лет, который включает в себя эту частоту. До этого интервала сумма накопленных частот составила 89 954. Чтобы получить конкретное значение медианы, надо к 89954 прибавить еще 2009 (91 963-89 954 = 2009).
При определении значения медианы предполагают, что значение признака в интервале распределяется равномерно, т. е. число раненых (19 187), находящихся в интервале от 31 до 35 лет, распределяется равномерно между этими пятью годами. Если это предположение верно, то разнице между накопленными частотами 91 963 и 89 954, равной 2009, будет соответствовать следующая возрастная величина:
5 лет 2009
19 187
• = 0,524 года.
Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала (от 31 до 35 лет), мы получим искомое значение медианы: 31 год+ 0,524 года = (округленно) 31,5 года или 31 год и 6 месяцев. Эти логические рассуждения укладываются в соответствующую формулу для расчета медианы в вариационном интервальном ряду:
Me = Х„ +1
.1/: 2-
/Me
где Me — медиана (в нашем примере для ряда раненых); Х0 — минимальная граница медианного интервала (31 год); /' — значение медианного интервала
(5 лет); If— сумма частот ряда или численность ряда (183 926), отсюда If: 1 — номер медианы (183 926: 2 = 91 963); SXa — сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу (89 954); /Ме — частота медианного интервала (19187).
Подставляя в эту формулу значения из нашего примера, получаем:
, 19 1 87
Итак, медиана для ряда раненых равна 31 году и 6 месяцам, т. е. тому же значению, которое мы получили перед рассмотрением формулы на основе л огико- математических операций. Теперь по этой же формуле рассчитаем медиану для погибших от ДТП:
Ме = 31+5-' =34-5-0,8 = 35. 4112
Следовательно, медианный интервал для погибших от ДТП тот же самый, что и для раненых (от 31 до 35 лет), но значение медианы внутри интервала для раненых составило 31 год и 6 месяцев, а для погибших — 35 лет.
Рассмотренная формула расчета медианы (в отличие от формулы расчета моды) применима для любого интервального ряда, как с равными, так и с неравными интервалами. Проверим это на данных погибших от ДТП, приведенных в табл. 7, где значения интервалов различаются в 5 и более раз.
Me = 21 + 4
= 21 + 4 • 3,7 = 21 + 14,7 = 35,7 лет.
Медиана, рассчитанная для вариационного ряда с существенно различающими интервалами, несколько отличается от медианы, исчисленной для того же ряда, но с равными интервалами (35,0 и 35,7), и это объяснимо.
В практике мода и медиана иногда используются вместо средней арифметической или вместе с ней. При использовании вместе они дополняют друг друга, особенно когда в совокупности небольшое число единиц с очень большим или очень малым значениями исследуемого признака. В дополнение к средней арифметической желательно также исчислять моду и особенно медиану, которая в отличие от средней не зависит от крайних и характерных для совокупности значений признака. Медиану можно использовать в качестве приближенной средней арифметической тогда, когда совокупность ранжирована и упорядочена. В этом случае медиана определяется по срединному значению варианты. В связи с этим значения других вариант можно и не измерять.
Кроме медианного деления вариационного ряда на две равные части, в статистике употребляются и более дробные деления: квартили, которые делят вариационный ряд по сумме частот на 4 равные части, децили — на 10 равных частей и центили — на 100 равных частей. Они могут использоваться для более выразительных и компактных описаний исследуемого явления; в юридической статистике практически не применяются.
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 502 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!