E) Сравнение стратегий с фиксированной долей: вероятность, что одна стратегия опередит другую после n попыток

Теорема 1 (iv) гласит, что капитал при использовании стратегии Келли будет стремиться, в конечном счете, к бесконечно большому приумножению капитала, чем использовании любой "существенно иной" стратегии. Можно показать, что любое фиксированное f ≠ f* - это "существенно иная" стратегия. Это приводит нас к вопросу о том, насколько стратегия Келли опережает другую стратегии фиксированной доли, и шире говоря, насколько быстро одна стратегия фиксированной доли опережает другую (или отстает от другой).

Если W_n - число побед за n попыток, а n — W_n - число проигрышей, то

G(f)=(W_n/n) ln (l + f) + (1 - W_n/n) ln (1 - f)

это фактически (случайная переменная) коэффициент роста.

Как мы видели, его ожидание

(3.5) g(f)=E(G(f))=p log(1 + f) + qlog(1 - f)

а дисперсия G(f) -

и из этого следует, что G(f), который представиться как G(f)=a(∑T_k)/n+b, приблизительно нормально распределено со средней g(f) и дисперсией VarG(f). Это позволяет нам получить распределение X_n и еще раз ответить на вопрос заданный в 3(c). Проиллюстрируем это на примере.

Пример 3.3 p=0.51 q=0.49 f*=0.02 N=10,000 и

s= стандартное отклонение G(f)

Далее находим распределение G(f₂) - G(f₁). Мы рассматриваем два случая.