![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Псевдо (от др.-греч. ψεῦδος — ложь): Приставка, означающая ложность, ненастоящесть следующего за ней. Пример: псевдонаука.
В данном разделе используются некоторые сведения из теории определителей и векторной алгебры.
· Произведение определителей одного порядка можно преобразовать по формуле
.
· Смешанное произведение следующим образом выражается через координаты векторов:
Если векторы заданы координатами относительно правой декартовой системы координат, то смешанное произведение, вычисленное по этой формуле равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если она левая:
(Если векторы заданы координатами относительно произвольного базиса, то при изменении базиса значение может изменяться не только по знаку, но и по абсолютной величине; это значение зависит также от того, контравариантные или ковариантные координаты векторов использованы).
· Пусть векторы заданы координатами относительно правой декартовой системы координат. Тогда при помощи правила умножения определителей можно доказать,
что
.
Определение псевдотензора.
Пусть заданы старый базис и новый базис
. Определитель
называется определителем перехода к новому базису.
Псевдовектором ранга веса
называется объект, координаты которого перенумерованы
индексами и при переходе к новому базису преобразуются как координаты тензора с дополнительным умножением на
.
Например, координаты псевдовектора веса
преобразуются по формулам
.
Псевдовектор ранга называется псевдоскаляром, ранга
– псевдовектором.
Псевдовектор веса является обычным (истинным, абсолютным) тензором.
Геометрический смысл определителя .
Определитель равен отношению объёма
параллелепипеда, построенного на векторах
, к объёму
параллелепипеда, построенного на векторах
(объёмы определяются по величине и
знаку):
.
Действительно, пусть векторы ,
заданы координатами относительно правой декартовой системы координат. Тогда,
,
Но .
(При выводе использованы равенства )
Следовательно, .
.
Если оба базиса ,
– ортогональные, нормированные, то
; при этом
, если тройки векторов обе правые или обе левые,
в противном случае.
Вес произведения псевдотензоров.
Умножение псевдотензоров производится так же, как умножение тензоров. При этом вес произведения равен сумме весов сомножителей.
Пусть, например, – псевдоскаляр веса
, а
– псевдовектор веса
.
Тогда
Как следствие, произведение истинного тензора на псевдотензор есть псевдотензор, произведение двух псевдотензоров с весами, равными по абсолютной величине и противоположными по знаку есть истинный тензор.
Псевдотензоры нужны для того, чтобы образовывать инвариантные векторы и скаляры.
Для этого используют несколько рассмотренных ниже псевдотензоров.
Примеры псевдотензоров.
1. Псевдоскаляр – объём параллелепипеда, построенного на векторах базиса (векторы
заданы координатами относительно декартовой прямоугольной системы координат). По доказанному выше,
, т.е.
. Следовательно, вес псевдоскаляра
равен 1.
Если известен метрический тензор , то псевдоскаляр
можно выразить через его координаты.
Действительно,
Введём обозначение . Тогда
; корню приписывают знак плюс, если тройка векторов
правая, и знак минус, если она левая.
2. Псевдоскаляр . Вес псевдоскаляра равен– 1.
Действительно,
.
3. .(символ Леви-Чивита) – ковариантный псевдотензор ранга 3 веса «– 1».
.
По определению координаты данного объекта имеют относительно любого базиса следующие значения:
Для доказательства псевдотензорного характера объекта с весом – 1 нужно проверить справедливость равенства
.Проверим его, например, для
.
По определению,
При этом
Равенство принимает вид .
Аналогичным образом можно проверить равенство для всех перестановок из индексов .
Равенство справедливо и в том случае, когда среди индексов есть равные, так как тогда полученный определитель третьего порядка равен нулю.
4. .(символ Леви-Чивита) – контравариантный псевдотензор ранга 3 веса «+ 1».
Для доказательства нужно использовать значение определителя .
Так как , по правилу умножения определителей получаем
, или
, откуда следует, что
.
5. Псевдоскаляр , где
– произвольные векторы.
Вес псевдоскаляра равен – 1, так как вес символа
равен – 1, а веса векторов равны нулю.
Заметим, что есть истинный скаляр (инвариант), так как сумма весов псевдоскаляра
и псевдотензора
равна нулю.
В развёрнутом виде
.
Значение , вычисленное по этой формуле, не зависит от системы координат. В правой декартовой системе координат, для которой
, оно равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах
, определённому по величине и знаку. Следовательно, получена формула для вычисления объёма параллелепипеда в системе координат с произвольным координатным базисом.
6. Контравариантный псевдовектор .
Вес псевдовектора равен 1. Следовательно,
ест полярный (истинный) вектор.
В разложении по векторам базиса этот вектор имеет вид .
В развёрнутом виде:
Таким образом, .
Вектор не зависит от системы координат. В правой декартовой системе координат формула определяет вектор, равный по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах
, перпендикулярный к
, направленный по правилу правого винта.
Полученная формула находит в системе координат с произвольным базисом.
Векторное произведение находится по формуле
.
Векторное произведение, которое находится по этой формуле, является псевдовектором веса 1, так как , где
– полярный вектор,
– псевдовектор веса 1.
Используя векторное произведение, можно представить в виде
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1103 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!