Достат. признаки сход-ти положит. рядов

Т. 1й признак сравнения: Пусть даны два полож. ряда (1) и (2), такие, что если начиная с нек.номера n для всех послед-х номеров вып-ся рав-во . Если ряд (2) сх-ся, то ряд (1) сх-ся. Если ряд (1) расход-ся, то ряд (2) расходится.

Следствие: В усл-ях предыд.теор.,если сущ-ет , где , то ряды (1) и (2)одноврем. сх-ся,или одновр.расходятся.

Т. Радикальный признак Коши: если положительный ряд таков,что сущ. кон. предел , то при q<1 ряд сходится, а при q>1 – расходится.

Пр-р:

Найдем

Ряд сходится.

Т. Признак Даламбера: Если положительный ряд таков, что , то он сходится, е/и q <1 и расходится, если q>1.

Док-во: 1. Пусть , q<1, зададим такое, что (по определению предела).

Выпишем нерав-во:

(по св-ву модуля):

Положим . Рассмотрим правую часть последнего нерав-ва: . При

Ряд положительный.

При

Получим: члены ряда не превосходят членов ряда это остаток исходного ряда. сходится. Тогда ряд сходится, как геом. Ряд со знаменателем r<1. ряд для ряда является остатком.

2.. Пусть , q>1, зададим такое, что .

Восп. нерав-м:

.

При

члены этого ряда больше членов ряда этот ряд расходится,как геом. Ряд со знаменателем r>1.

Ряд расходится по первому признаку сравнения. Этот ряд является остатком для исходного ряда, значит он тоже расходится.

Пример: Исследовать на сходимость: . 1) , ; 2) , è (по признаку Даламбера) ряд сходится. ■

Т. Интегр. признак Коши:

Если f – непрер., неотриц., невозр. Ф-я опред. на и несобств. интеграл сходится, то сходится и ряд: f(1)+f(2)+…+f(n)+… при этом его сумма не превосходит числа . Если при тех же условиях расходится, то расх-я и ряд .

Пр-р: исследуем сходимость ряда .

Рассмотрим интеграл

Исследуем его на сходимость:

расходится, а значит расходится.

Опр. Числовой ряд, у которого два любых соседних члена имеют разные знаки называется знакочередующимся. Запиш. знакочеред.ряд в виде: ,где (*).

Т. Лейбница: Пусть дан знакочеред-ся ряд(*).Если члены дан.ряда убывают.по абсол.величине и общий член стремится к 0 при ,то ряд (*)сх-ся.

Док-во.

Посл-ть четн.числа членов ряда представл.собой сумму неотриц.слаг-х,поэт.неубыв.

Иначе можно представить так:

. огран. сверху и .Тогда посл-ть не убыв.и огранич.сверху, знач,имеет конечн.предел.,т.е. сущ .Тогда . Тогда

Т.о.,

,т.е.ряд(*)сх-ся.

Опр. Числ.ряд явл-ся знакочередующ., если .

Пр. знакоположит.

знакотриц.

Опр. Пусть дан ряд(1)и ряд,составл-й из модулей член.дан.ряда . Если сх-ся ряд из модулей,то ряд(1) сх-ся абсолютно.

Если ряд из модулей расходится, то ряд (1) называют условно сход-ся.

Пр. - абсолютно сходится.

- условно сходится.

2. Матрицы и определители.(M6,7)

Опр.1. Матрицей размера s´n наз-ся таблица вида

где аik – числа, наз-е элем-ми матрицы.

Опр.2. Две матрицы наз-ся равными, если равны все их соотв-е эл-ты(находятся на одинаковых местах

Матрица наз-ся нулевой, если все её элементы равны нулю. Матрица размера n´n наз-ся квадратной матрицей порядка n. Вид:

Диагональ этой матрицы, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему углу, называется главной диагональю. Элементы её наз-ся диагональными.

Опр.3. Рангом матрицы называется количество строк в её ступенчатом виде

Опр.4 Главным элементом строки матрицы наз-ся 1-ый ненулевой элемент этой строки.

Опр.5. Матрица без нулевых строк наз-ся ступенчатой, если в ней главный элемент каждой последующей строки нах-ся правее гл-го элемента предшеств-й строки.

Опр.6. Столбцы ступенчатой матрицы, содержащие главные элементы, наз-ся гл.столбцами.

Опр.7 Матрицей единичного вида называется ступенчатая матрица, у которой главные элементы равны 1, а остальные элементы в главных столбцах равны 0, обозначается Е.

Опр.8. Элементарными преобраз-ми матрицы яв-ся: перемена местами строк матрицы; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке другой, умноженной на число; удаление нулевой строки.

Т1.(о приведении к ступенчатому виду):Всякую ненулевую матрицу с помощью элементарных преобраз-й можно привести к ступенчатому виду.(Рассматриваем данную матрицу как табличную запись с-мы линейных урав-й, приводя её к ступенчатому виду методом Гаусса. Тем самым приведем матрицу к ступенчатому виду с пом элемент преобр матрицы).

Т4.: Если с-ма линейных ур-й совместна (т.е. имеет решение), то в любом её общем решении число главных переменных равно рангу матрицы системы, остальные переменные свободны.

Опр.9. Квадратная матрица наз-ся невырожденной, если её столбцы (или строки) линейно независимы. В противном случае она наз-ся вырожденной.

Ранг невырожденной матрицы равен ее порядку. У вырожденной матрицы ранг меньше ее порядка.

Т6: Если строки матрицы сист. лин. ур. линейно независимы, то система совместна, каковы бы ни были её свободные члены.

Операции над матрицами.

Опр.1. Суммой двух матриц A и B одинакового размера наз-ся матрица, каждый элемент которой = сумме соответст-х элементов данной матрицы (поэлементное сложение).

, ,

Опр.2. Произведением числа μ на матрицу наз-ся матрица

Опр. 4. Произв-м матрицы A на матрицу B, где называется матрица AB,у к-й эл-т, стоящий в i-ой строке и k-ом столбце, равен произведению i-ой строки матрицы А на k-й столбец матрицы B.

Сik=аi1b1k+ai2b2k+… +ain bnk

Т7: Если А квадратн матрица того же порядка, что и единичная матрица Е, то А×Е=Е×А=А.

Опр.6. Матрицей обратной к квадратной матрице А называется такая А־¹, что АА ־¹=Е Из этого рав-ва следует, что E и А־¹ должны быть того же порядка, что и матрица А. Имеет место (А־¹)־¹=А

Опр Матрице, обратной к квадратной матрице А называется решение ур-ия АX=Е (способ нахождения обр мат-цы)

Определители

Рассмотрим сист. 2 лин. ур.с 2 перемен

(1) с матрицей (2) Предположим, что матрица невырожденная, тогда с-ма имеет единст решение. Исключаем из (1) переменную x2 (первое уравнение *а₂₂, второе на –а₁₂ и сложим). Получим:(а11а22-а12а21)x1=b1а22-b2а12 (3). Умножая 1-ое на –а21, 2-ое на а11 сложим, получим: (а11а22-а12а21)x2 =b2а11-b1а21 (4). В формулах (3) и (4) при неизвестных один и тот же коэффициент а11а22-а12а21 (5)

Опр.7.Выражение (5) называется определителем матрицы (2) и обозначается или

Т.о. =а11а22-а12а21 (6). По правилу (5) имеем: b1a22-b2a12 =

b2a11-b1a22 = . Т. о. из формул (3) и (4) получим x1= ,

x2 =

Эти формулы наз-ся формулами Крамера. Аналогичная теория для определителей 3-го порядка.

Опр.9. Если в определ. вычеркнуть i-тую строку и k-ый столбец, то оставшийся определитель наз-ся минором элемента aik и обознач-ся Mik.

Опр.10.Число Аik= Mik наз-ся алгебраическим дополнением элемента аik в данном определителе.

Опр.11. Определителем n-го порядка наз-ся

=a1kA1k+a2kA2k+…+ankAnk.

Свойства.

1. Если в определителе поменять местами строки, то он умножится на -1(другими словами, примет противоположное значение).

2. Общий множитель элементов строки определителя можно вывести за знак определителя.

3. (распределительность). Если некоторая строка определителя = сумме двух слагаемых, то определитель = сумме двух определителей, в первом из которых эта строка = первому слагаемому, во втором-второму.

4. Опред-ль диагональной матрицы (все эл-ты квадр матрицы вне главной диагонали равны нулю) равен произвед-ю диагональных элементов.

5. Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

6. Если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю.

7. Если в определителе две строки пропорциональны, то он равен нулю.

8. Если к какой-либо строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на число, то определитель не изменится.

Док-во: предположим, мы к i-й строке прибавили j-ю, умноженную на μ. Данный определитель запишем в виде:

Здесь выделены i-я и j-я строки, остальные обозначены прочерками. После указанного прибавления получим По свойству 3 имеем:

Опр.12. Преобраз-е квадратной матрицы наз-ся допустимым, если оно не меняет её определителя.

9. След-е преобраз-я квадратной матрицы не изменяют её определителя, то есть являются допустимыми: прибавление, перемена местами двух строк с одновременным умножением одной из них на -1.

10. Для того, чтобы матрица была вырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её определитель равнялся нулю.

11.Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Опр.13. Если каждый столбец матрицы записать в виде строки с тем же номером, то получим матрицу, которая называется транспонированной к данной.

12.При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется.

13. (о равноправии строк и столбцов). Все свойства определителя остаются верными, если в них заменить термин «строка» на «столбец», а «столбец» на «строка».

(к билету №7) Найти

Решение: