![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Одноканальная система массового обслуживания
с ограниченной очередью
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь и обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием
(схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S 0 – «канал свободен»;
S 1 – «канал занят» (очереди нет);
S 2 – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);
………………………………………………………
Sn – «канал занят» (n –1 заявок стоит в очереди);
SN – «канал занят» (N –1 заявок стоит в очереди).
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
(1.2)
где , n – номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (1.2) для нашей модели СМО имеет вид:
Тогда:
Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N– 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением
.
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N –1):
– вероятность отказа в обслуживании заявки:
– относительная пропускная способность системы:
– абсолютная пропускная способность:
A = q ∙λ;
– среднее число находящихся в системе заявок:
– среднее время пребывания заявки в системе:
– средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
– среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ограниченной очередью.
Пример 4.3. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживания автомобилей:
2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и
, т. е.
3. Вычислим финальные вероятности системы:
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
4. Относительная пропускная способность поста диагностики:
.
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
(автомобиля в час)
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):
8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
часа
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
часа.
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Pотк = 0,158).
Пример 1.3. Пусть на аэродром самолеты прибывают с интенсивностью 27 самолетов в час, время приземления составляет 2 минуты, допускается нахождение над аэродромом не более m =10 самолетов. Нужно определить число N посадочных полос, гарантирующее вероятность отказа, не превышающую 0.05, и среднее время ожидания, не превышающее 5 минут.
Решение
Здесь λ=27, μ=30, ρ=λ/μ=0.9.
Отыскиваем вероятность простоя диспетчеров службы посадки:
Вероятность отказа в посадке равна:
Cреднее время ожидания в воздухе:
где
Выполняя арифметические действия при N =1, обнаруживаем, что минут и что одной посадочной полосы при указанных условиях вполне достаточно.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1849 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!