с ограниченной очередью

Одноканальная система массового обслуживания

с ограниченной очередью

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь и обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

(схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S ₀ – «канал свободен»;

S ₁ – «канал занят» (очереди нет);

S ₂ – «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

………………………………………………………

S_n – «канал занят» (n –1 заявок стоит в очереди);

S_N – «канал занят» (N –1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

(1.2)

где , n – номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (1.2) для нашей модели СМО имеет вид:

Тогда:

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N– 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N –1):

– вероятность отказа в обслуживании заявки:

– относительная пропускная способность системы:

– абсолютная пропускная способность:

A = q ∙λ;

– среднее число находящихся в системе заявок:

– среднее время пребывания заявки в системе:

– средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

– среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ограниченной очередью.

Пример 4.3. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обслуживания автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и , т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

4. Относительная пропускная способность поста диагностики:

.

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

(автомобиля в час)

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

часа.

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

.

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (P_отк = 0,158).

Пример 1.3. Пусть на аэродром самолеты прибывают с интенсивностью 27 самолетов в час, время приземления составляет 2 минуты, допускается нахождение над аэродромом не более m =10 самолетов. Нужно определить число N посадочных полос, гарантирующее вероятность отказа, не превышающую 0.05, и среднее время ожидания, не превышающее 5 минут.

Решение

Здесь λ=27, μ=30, ρ=λ/μ=0.9.

Отыскиваем вероятность простоя диспетчеров службы посадки:

Вероятность отказа в посадке равна:

Cреднее время ожидания в воздухе:

где

Выполняя арифметические действия при N =1, обнаруживаем, что минут и что одной посадочной полосы при указанных условиях вполне достаточно.