ГЛОССАРИЙ 5 страница

НЬЮТОНА МЕТОД [Newton method] — вычислительный алгоритм решения широко- го класса экстремальных задач (на отыскание безусловного минимума функции), ис- пользующий вторые частные производные минимизируемой функции. Обладает срав- нительно быстрой сходимостью (искомая точка достигается через небольшое число итераций), но требует трудоемких вычислений.

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МОДЕЛЬ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА [single-product model] — экономико-математическая модель, в которой хозяйство рассматривается как производство одного обобщенного продукта, часть которого идет на потребление, часть — на увеличение основных и оборотных фондов. Исследование подобной крайне упрощенной модели позволяет все же изучать наиболее общие закономерности развития экономики (тем более что и в реальности такой единственный “продукт” существует — это деньги). Ей противопоставляется многосекторная (или многоотраслевая) модель, в которой хозяйство делится на несколько секторов (напр., государственный и кооперативный) или отраслей и изучается их взаимодействие, обмен ресурсами и продуктами между ними. Наряду с указанным термином применяются в том же смысле односекторная модель, одноотраслевая модель.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ [optimal control] — 1. Основное понятие матема- тической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием — О. у.); означает выбор таких управляющих параметров, которые обес- печивали бы наилучшее с точки зрения заданного критерия протекание процесса или, иначе, наилучшее поведение системы, ее развитие к цели по оптимальной траектории. Эти управляющие параметры обычно рассматриваются как функции времени, что оз- начает возможность их изменения по ходу процесса для выбора на каждом этапе их наилучших (оптимальных) значений.

В рыночной экономике оптимальное управление подразумевает использование таких инструментов государственного регулирования, которые приводят к оптимальному экономическому росту страны и подъему благосостояния ее населения.

Для (регулируемого) рыночного хозяйства управляющими параметрами могут быть на- логи и налоговые льготы, антимонопольное законодательство (см. Монополия), опти- мальное распределение капиталовложений в новые отрасли производства и т. д.

ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО [Pareto optimum]. Выдающийся итальянский эко- номист В. Парето в начале XX в. математически сформулировал один из самых распространенных критериев оптимальности, предназначенный для того, чтобы проверить, улучшает ли предложенное изменение в экономике общий уровень благосостояния.

Критерий Парето формулируется им просто: “Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением”. Этот критерий имеет весьма широ- кий смысл. Он применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались, а также та- ких, когда реализуется композиционный подход к построению плана развития эконо- мической системы, учитывающий интересы составляющих ее подсистем (групп эконо- мических объектов).

Приведенное выше определение можно формализовать следующим утверждением: со- стояние экономики S* считается лучшим по Парето, чем другое состояние S1, если хотя бы один экономический субъект предпочитает S*, а все остальные по меньшей мере не делают различий между этими состояниями, но в то же время нет таких, кто предпочи- тает S1 состоянию S*. Последнее безразлично по Парето относительно состояния S1, если все экономические субъекты не делают между ними различий; наконец, оно опти- мально по Парето, если не существует такого допустимого состояния экономики, кото- рое было бы лучше, чем это.

Критерий Парето неприменим к весьма распространенным ситуациям, при которых экономическое мероприятие, приносящее пользу одним, в то же время наносит ущерб другим.

Если x1 и y1 (на рис. О. 7б) соответственно отображают максимальные значения целе- вых функций подсистем X и Y при их независимом друг от друга функционировании, то участок FF1 множества Парето (недостижимый для каждой из них в отдельности) заинтересовывает их в совместной деятельности. Этот участок называется ядром эко- номической системы. Чем теснее взаимозависимы подсистемы, тем меньше различия между множеством Парето (“оптимумом по Парето”) и ядром системы. Выбор при планировании единственного наилучшего плана (напр., точки g) — вопрос согласова- ния или, как говорят, “устройства” экономического механизма. Напр., такой точкой может быть точка равновесия по Нэшу.

Таким образом, оптимумов по Парето может быть много, но существенно меньше, чем вообще вариантов развития системы; оптимумов по Парето, входящих в ядро, еще меньше, и все это, в частности, позволяет сужать выбор вариантов, подлежащих рас- смотрению в процессе оптимального композиционного планирования. (Те же рассуж- дения применимы и к анализу некооперативных игр.)

ОЧЕРЕДЬ [queue] в теории массового обслуживания — последовательность требова- ний или заявок, которые, заставая систему обслуживания занятой, не выбывают, а ожи- дают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) каналов или средств обслуживания. Это ключевое понятие теории очередей (как одного из разделов теории массового обслуживания).

Процесс образования О. носит стохастический характер (процесс называется стохасти- ческим, если он состоит из случайных переменных, значения которых меняются во времени).

О. требований или заявок подразделяются прежде всего на замкнутые и разомкнутые (или линейные). В первом случае обслуженные требования могут возвращаться в сис- тему и вновь поступать на обслуживание. Например., автомашины, приписанные к опреде- ленному парку, могут образовать замкнутую О. для зарядно-аккумуляторной станции этого парка. Во втором случае обслуженные требования не возвращаются в систему (напр., зарядно-аккумуляторная станция общего пользования на автостраде). Для рас- чета потерь от ожидания клиентов в замкнутых и разомкнутых О. применяются разные критерии и разный математический аппарат.

По дисциплине обслуживания О. также подразделяются на ряд видов: О. с приоритета- ми (когда отдельным требованиям отдается предпочтение), О. случайные и т. д. В зада- чах теории массового обслуживания важными параметрами являются длина О., т. е. среднее число ожидающих требований, и время ожидания обслуживания — среднее время пребывания требования в системе до момента начала обслуживания.

ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ [cobweb model] — одна из простейших динамиче- ских моделей, используемых в экономической литературе для демонстрации процесса формирования цен в условиях конкурентного рынка. В модели поставка товара на ры- нок в определенном году зависит от условий (в том числе цен), сложившихся в про- шлом периоде (для сельского хозяйства — в прошлом году). Спрос же определяется ценой текущего периода.

Название модели происходит от вида графика, используемого для ее геометрической интерпретации (рис. П. 2). Предположим, расчет начинается с цены P0, меньшей, чем цена равновесия P* (которая определяется точкой пересечения кривых спроса и пред- ложения). Тогда для первого периода объем предложения будет соответствовать точке V1, а цена согласно кривой спроса установится на уровне P1, т. е. будет выше точки равновесия. Привлеченные высокой ценой производители увеличат выпуск до точки V2на кривой предложения, но тогда цена спустится до уровня Р2 на кривой спроса и про- изводители снова снизят предложение, и т. д. Сойдется ли “паутина” в точке равнове- сия или, наоборот, разбежится, зависит от взаимного наклона кривых спроса и предло- жения. Напр., если вторая из них расположена более полого, чем первая, получаем “расходящуюся паутину” [diverging cobweb]. В противоположном случае — “сходя- щуюся” [converging cobweb]. Если же наклон кривых спроса и предложения абсолютно совпадает — то кривую постоянной вибрации (процесс нащупывания цены заканчива- ется всякий раз в той точке, откуда начиналось движение).

E NzTjKPm759mPBd9GT+34URSPgt2439Ngg8cwHBcQy/DvooN+4t+mbyY7ld3DO9XKTxeYhrAplf5G SQeTZUHN1z3TgpL6jYRmM4+SBEeROySTWQwHfS7ZnUuY5GBqQS2F8sbt0vrxtW91VZTgKXIFJtVr aLJ5hU/Z4fOo+gP0O7dzc8TF0s88HFTnZ6f1MJlvfwIAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAhAMx7F9zg AAAACQEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMj8FuwjAMhu+T9g6RJ+020gIro2uKENp2QkiDSdNu oTFtReNUTWjL28+ctpNl+9Pvz9lqtI3osfO1IwXxJAKBVDhTU6ng6/D+9ALCB01GN45QwRU9rPL7 u0ynxg30if0+lIJDyKdaQRVCm0rpiwqt9hPXIvHu5DqrA7ddKU2nBw63jZxGUSKtrokvVLrFTYXF eX+xCj4GPaxn8Vu/PZ8215/D8+57G6NSjw/j+hVEwDH8wXDTZ3XI2enoLmS8aBQky9mcUQXzKVcG FtFyAeJ4GyQg80z+/yD/BQAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEA AAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAInmXzldAwAA4QcA AA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAMx7F9zgAAAA CQEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAtwUAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAADEBgAA AAA= "> ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦЫ МОБ [productivity of matrix I. O.] — требование, предъявляемое при анализе балансовых уравнений67.

AX + Y = X

и состоящее в том, что для получения неотрицательного решения (вектора x) матрица А должна быть продуктивной.

Продуктивной называется неотрицательная матрица A ≥ 0, если существует хотя бы один такой положительный вектор x > 0, что

(I — A) x > 0.

Экономический смысл этого определения прозрачен: матрица A і 0 продуктивна, если существует такой план x > 0, что каждая отрасль может произвести некоторое количе- ство конечной продукции (вектор y ≥ 0).

Следует заметить, что в научной литературе требование П. м. формулируется неодно- значно. В ряде случаев матрица называется продуктивной, если вектор x не положи- тельный, как указано выше, а лишь неотрицательный: x ≥ 0, соответственно и матрица (I — A) x ≥ |0|; предъявляются также некоторые требования к составу конечного про- дукта (вектору y) и т. д.

Вместо термина “продуктивная матрица МОБ” считается правомерным употреблять термины “продуктивная экономика”, “продуктивная система уравнений”, “продуктив- ная экономическая модель”.

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ( ПФ ) [production function] (то же: функция про- изводства) — экономико-математическое уравнение, связывающее переменные вели- чины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). ПФ применяются для ана- лиза влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант П. ф.) и для анализа, а также прогнозирования соотно- шения объемов факторов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант Пф.) на различных уровнях экономики — от фирмы (предприятия) до народно- го хозяйства в целом (агрегированная ПФ, в которой выпуском служит показатель со- вокупного общественного продукта или национального дохода и т. п.). В отдельной фирме, корпорации и т. п. ПФ описывает максимальный объем выпуска продукции, ко- торую они в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов про- изводства. Она может быть представлена множеством изоквант, связанных с различ- ными уровнями объема производства.

Такой вид ПФ, когда устанавливается явная зависимость объема производства продук- ции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными ПФ используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функ- цию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию (зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия) и др.

Математически ПФ могут быть представлены в различных формах — от столь про- стых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фак- тора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени.

Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления ПФ. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

или

Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы ока- зывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей — численность занятого населения x1, сумму основных и оборотных фондов x2, площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба—Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20—30-е гг. ХХ в.: N = A · Lα· Kβ,

где N — национальный доход; L и K — соответственно объемы приложенного труда и капитала (подробнее см.; Кобба—Дугласа функция).

Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной ПФ показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из со- множителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответст- вующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластич- ности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэф- фициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропор- ционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма пара- метров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска (Эф- фект масштаба).

В динамическом варианте применяются разные формы ПФ. Напр., (в 2-факторном слу- чае): Y(t) = A(t) Lα(t) Kβ(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.

Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить со- отношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

Дальнейшая “динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных ко- эффициентов эластичности.

Описываемые ПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются толь- ко в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производ- ства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительно- сти, интенсивности, квалификации и т. д.).

Особая проблема — учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса (подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичность замеще- ния ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эла- стичностью замены (CES — Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES — Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже).

На практике применяются три основных метода определения параметров макроэконо- мических ПФ: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод назы- вается распределительным.

· При построении ПФ необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности па- раметров и автокорреляции — в противном случае неизбежны грубые ошибки.

Приведем некоторые важные ПФ (см. также Кобба—Дугласа функция). Линейная п. ф.:

P = a1x1 +... + anxn,

где a1,..., an— оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещае- мы в любых пропорциях.

Функция CES: P = A [(1 – α) K-b + αL-b]-c/b,

в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следова- тельно, постоянна:

Отсюда и происходит название функции.

Функция CES, как и функция Кобба— Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластич- ность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба— Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные еди- нице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба—Дугласа ло- гарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает ис- пользовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа.

Функция VES (один из вариантов):

Здесь эластичность замещения принимает различные значения в зависимости от уровня капиталовооруженности труда K/L, откуда и происходит название функции РАВНОВЕСНАЯ ЦЕНА [equilibrium price] — цена, при которой объем спроса на рын-

ке равен объему предложения. На графике спроса и предложения она определяется в

точке пересечения кривой спроса и кривой предложения

В принципе, Р. ц. могут устанавливаться либо автоматически в результате действия рыночного механизма, либо расчетным путем (напр., на основе теории оптимального ценообразования). Уровень Р. ц. наиболее высок в условиях монопольной структуры рынка (см. Монополия) и наиболее низок в условиях свободной конкуренции. Либера- лизация цен, проведенная в России в 1992 г., означала переход к системе Р. ц., устанав- ливаемых в основном автоматически (за исключением ценообразования на продукцию естественных монополий). Однако высокий уровень монополизации производства мно- гих видов продукции в результате проводившейся прежде политики крайне высокой специализации и концентрации предприятий, а также ряд других обстоятельств приве- ли к ускоренной инфляции. И хотя равновесие на рынке было достигнуто (впервые за многие десятилетия), уровень Р. ц. оказался чрезвычайно высоким.

СИМПЛЕКС [simplex] — выпуклый многоугольник в n -мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс по- тому, что в n -мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости. Так что С. — это простейший многоугольник, содержащий некоторый объем n-мерного пространства.

а) На прямой С. — это отрезок, одномерный объем — длина (рис. C.3).

б) На плоскости С. — это треугольник, двумерный объем — площадь.

в) В обычном (трехмерном) пространстве С. — это тетраэдр; трехмерный объем, совпа- дает с объемом тела.

Аналогично “устроены” и С. в пространствах более высокой размерности.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИ -

РОВАНИЯ (симплекс-метод) [simplex method] — вычислительная процедура, осно-ванная на принципе последовательного улучшения решений — перехода от одной ба-зисной точки (см. Базисное решение) к другой, для которой значение целевой функции больше (эти операции фиксируются в симплексной таблице). Доказано, что если опти-мальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов (за исключением т. н. вырожденной задачи, при которой возможно явление “за-цикливания”, т. е. многократного возврата к одному и тому же положению). Название метод получил от термина “n-мерный симплекс”. Геометрическая интерпретация метода состоит в последовательном движении по вершинам симплекса.C. м., разработанный Дж. Данцигом, послужил исходным пунктом для разработки целого семейства алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных выпуклых задач оптимизации.

Реализация решения задачи симплекс-методом наглядно показана на блок-схеме (см. рис.).

СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [serving system] — совокупность пунктов (каналов, станций, приборов), на которые в случайные или неслучайные мо- менты времени поступают заявки на обслуживание (требования), подлежащие удовле- творению. Примеров таких систем можно привести очень много. Телефонная сеть — это С. м. о.: здесь заявка — вызов абонента, обслуживающее устройство — коммута- тор. Универсам — это тоже С. м. о.: заявка в этом случае — приход в магазин покупа- теля, а обслуживающее устройство — касса.

Можно, правда, рассматривать работу универсама и с противоположных позиций: считать, что кассир, ожидающий покупателя, — это заявка на обслуживание, а обслуживающее устройство — это покупатель, способный удовлетворить заявку, т. е. подойти к кассе с покупками и прекратить вынужденный простой кассира. Возможность такого двойственного подхода к задачам теории массового обслуживания позволяет использо- вать их для оптимизации структуры исследуемых систем.

Если, например., в магазине работает лишь одна касса, а покупатели заходят часто, то возникнет очередь покупателей, ожидающих обслуживания. Если же, наоборот, покупатели заходят редко, а кассиров несколько, то возникнет очередь кассиров, ожидающих покупателя. В обоих случаях магазин несет потери: в первом случае потому, что не все желающие купить товар будут обслужены, а во втором — потому, что кассиров слишком много и часть фонда их заработной платы будет расходоваться напрасно.

Поэтому, напр., критерием правильности организации работы магазина может служить средняя сумма времени ожидания покупателя и времени ожидания кассира. Работа магазина организована наилучшим образом, если эта величина минимальна.

Для оценки С. м. о. применяются также показатели ее пропускной способности: абсолютной (среднее число заявок, которое может быть обслужено за единицу времени) и относительной (средняя доля обслуживаемых заявок в общем количестве поступающих в систему).

Для того чтобы достаточно полно сформулировать математическую модель С. м. о., обычно необходимо задать: характеристики среды или входящего потока требований; характеристики механизма обслуживания; дисциплину обслуживания. С. м. о. классифицируются, во-первых, по характеру обслуживания: системы с отказами (требование, поступившее в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует); другое название — системы с потерями; системы с очередью (с ожиданием упорядоченным и неупорядоченным, случайным и т. д.). Такие системы делятся далее на системы с неограниченным ожиданием и ограниченным (предельной длиной очереди, временем и др.) ожиданием; во-вторых, по кругу обслуживаемых объектов: замкнутые системы (см. Очередь); открытые системы (см. Очередь); в-третьих, по количеству каналов и фаз обслуживания: одноканальные и многоканальные (см. Многоканальная система массового обслужива- ния); однофазные и многофазные (см. Многофазная система массового обслуживания.

СЛУЦКОГО УРАВНЕНИЯ [Slutsky equations] — уравнения, характеризующие коли- чественные зависимости между изменением цен на отдельные товары и доходов потребителей, с одной стороны, и структурой покупательского спроса — с другой. Наиболее просто основное уравнение Слуцкого формулируется так:

Изменение спроса =

эффект изменения + дохода

эффект замещения

Иными словами, изменение спроса на некоторый товар при повышении или снижении его цены складывается из двух частей: влияния непосредственного изменения спроса (т. е. изменения реальной возможности приобретать данный товар в результате измене- ния цены на него) и косвенного влияния в результате переключения спроса на другие товары.

СОЛОУ МОДЕЛЬ РОСТА [Solow’s growth model] — одна из моделей экономическо- го роста (ее называют неоклассической), в которой при некоторых упрощающих усло- виях формулируется разностное уравнение, задающее равновесную траекторию роста при полной занятости. Модель позволяет рассчитать темп прироста занятости, при котором достигается устойчивое равновесие. Как и в модели Харрода — Домара, здесь используется линейно однородная производственная функция Y = F(K, L), где Y — на- циональный доход; K — капитал; L — труд. Причем в отличие от модели Харрода — Домара в С. м. допускается взаимное замещение капитала и труда.