Затухающие колебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания, амплитуда которых вследствие потерь энергии (трения) и превращения в теплоту уменьшается с течением времени.

Дифференциальное уравнение, описывающее процесс затухающих колебаний, имеет вид

(4.29)

где – коэффициент затухания; – собственная частота системы, – коэффициент сопротивления среды.

Решение уравнения (4.29) имеет вид

.30)

где – амплитуда затухающего колебания, которая убывает с течением времени по экспоненциальному закону; А₀ – начальная амплитуда; – циклическая частота затухающего колебания.

График зависимости Х от t представлен на рис. 4.7.

	Период затухающих колебаний определяется как (4.31) Логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний, отличающихся по времени на пе-
Рис. 4.7

риод, носит название логарифмического декремента затухания и выражается в виде

(4.32)

Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного маятника. Ускорение маятника обеспечивают: сила упругости и сила сопротивления . Согласно второму закону Ньютона уравнение движения будет иметь вид

(4.33)

Преобразуя (4.33) получим уравнение (4.29).

Из решения уравнения (4.29) следует, что маятник колеблется с частотой, равной:

(4.34)

Период колебаний маятника определяется как

(4.35)