Решение. Опытные и расчетные данные наносим на рис

Опытные и расчетные данные наносим на рис. 2.2. По трем средним арифметическим числам отказов строим опытную линию регрессии. Рассматривая опытную линию, делаем заключение, что аппроксимацию указанной опытной линии следует производить прямой линией (2.1).

Вычисляем среднее арифметическое число отказов автомобилей:

.

Вычисляем среднее арифметическое число капитальных ремонтов автомобилей:

.

Находим общие несмещенные дисперсии по каждому из признаков:

.

Находим средние квадратичные отклонения по каждому из признаков:

.

Находим несменный момент связи рассматриваемых двух признаков:

Находим коэффициент корреляции:

r .

Находим коэффициенты теоретического регрессионного уравнения (2.1):

;

.

Теоретическое регрессионное уравнение (аналитическая модель) имеет вид

у = 2,72 + 1,08 х. (2.5)

Наносим это уравнение на график рис. 2.2 по точкам:

если х = 1, то у = 2,72 + 1,08 = 3,84;

если х = 3, то у = 2,72 + 3,24 = 5,96.

Возведя коэффициент корреляции в квадрат получаем величину коэффициента детерминации:

∂ = r² = (0,465)² = 0,216 = 21,6 %.

Заключение по решению

Установлено, что зависимость числа отказов автомобилей в эксплуатации от числа предшествовавших капитальных ремонтов является малозаметной (умеренная корреляционная связь r = 0,465). Эта зависимость выражается прямолинейно по уравнению (2.5). Значения коэффициента детерминации показывают, что влияние капитальных ремонтов составляет только 21,6 %, остальные 78,4 % обусловлены другими причинами.

Решение примера закончено.

Пример 2.2. На автотранспортном предприятии парк автомобилей эксплуатируется на перевозке лесных грузов при движении по дорогам низших категорий в условиях болотистой местности. Для этих условий эксплуатации нужно минимизировать расходы горючего у путем оптимизации величин давлений x в баллонах шин, для чего требуется.

1.Составить аналитическую модель (уравнение регрессии), устанавливающую зависимость расхода топлива от давления в баллонах автомобиля. При решении использовать метод наименьших квадратов.

2. Установить тесноту зависимости расхода топлива автомобилями от давления в баллонах.

Для решения задачи испытаниям были подвергнуты 100 автомобилей одной и той же марки. Автомобили были разделены на 5 групп, и для каждой из групп были заданы различные давления в баллонах (от 1 до 5 кг/см²), и зафиксированы расходы горючего y в кг/100 км пробега.

Результаты испытаний представлены в корреляционной табл. 2.1.

Решение:

Находим и заносим в табл. 2.1 средние арифметические расходы топлива по каждой группе автомобилей , например:

кг/100 км;

20 кг/100 км.

и так далее.

Находим и заносим в табл. 2.1 среднее квадратичное отклонение расхода топлива по группам автомобилей, используя частости повторения данных измерений по формуле, например, для первой колонки:

и так далее для всех колонок.

Общее среднее арифметическое значение расхода топлива по всем автомобилям составляет

кг/100 км.

На основании данных корреляционной табл. 2.1 строим на рис. 2.3 корреляционное поле, наносим средние значения расходов топлива по группам и опытную ломаную регрессионную зависимость. На основании вида опытной ломаной линии регрессии заключаем, что она должна быть аппроксимирована параболой второго порядка:

у = ах² + bх + с. (2.6)

Неизвестные коэффициенты параболы второго порядка а, b, с могут быть найдены различными методами, в том числе из системы трех уравнений:

;

; (2.7)

.

Все вычисленные коэффициенты для системы нормальных уравнений (2.7) представлены в табл. 2.2. Решение системы нормальных уравнений (2.7) дает следующие значения искомых коэффициентов a, b, c теоретического уравнения регрессии.

a = 5,31; b = 27,36; с = 60,76.

Искомое теоретическое уравнение регрессии имеет вид, рис. 2.3.

у = 5,31 х ² - 27,36 х + 60,76. (2.8)

Полученное уравнение (2.8) представляет собой аналитическую модель рассматриваемого явления. Оптимальный расход топлива (рис. 2.3), равный у =24 кг/100км, достигается при давлении в баллонах х =2,5 кг/см².

Для вычисления силы, или тесноты, корреляционной связи зависимости у от х вычислим корреляционное отношение ή (что соответствует коэффициенту корреляции r при линейной регрессии в примере 2.1):

. (2.9)

Межгрупповое среднее квадратическое отклонение, характеризующее разброс групп относительно общего среднего арифметического, вычисляется

σ _{у.межгр .}=√ = √ =14,58.

Общее среднеквадратическое отклонение признака у относительно общего среднего арифметического вычисляется

σ _{у. общ ..}=√∑( n/n - 1=√ = 18,24.

Корреляционное отношение по выражению (2.9) и коэффициент детерминации равны

ή = = = 0,8;

∂ = ή² = (0,8)² = 0,64 = 64 %.

Заключение по решению

Теснота корреляционной связи (ή=0,8) между рассматриваемыми факторами У (расход топлива) и Х (давление воздуха в баллонах автомобилей) является высокой. 64 % разброса в расходах топлива обусловливается давлением в баллонах. Остальные 36 % обусловливаются другими причинами, например, плохой регулировкой топливной аппаратуры, низкой квалификацией водителей и так далее.

Решение примера закончено.

Вопросы для самоконтроля

1.Сформулируйте понятие корреляционная зависимость между величинами.

2. Сформулируйте понятие линия регрессии и задачи регрессионного анализа.

3. Перечислите соотношения силы (тесноты) корреляционной связи и значение коэффициента корреляции (корреляционного отношения).

4. Сформулируйте понятие коэффициент детерминации.

5. Сформулируйте понятие дисперсия.