![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В силу теоремы Эйлера, для любых взаимно простых а и n выполняется соотношение:
af(n) º 1 mod n, (9.1)
где f(n) обозначает функцию Эйлера, значение которой равно числу положительных целых значений, меньших n и взаимно простых с n. Для простого числа p
f(p)=p-1,
Если предположить, что два числа p и q простые, тогда для n=pa*qb функция Эйлера будет иметь вид
f(n)= f(pa*qb)= f(pa)* f(qb)=[(p-1) pa-1]*[(q-1)qb-1]. (9.2)
Рассмотрим более общее соотношение, чем (9.1). Говорят, что число a, взаимно простое с модулем n, принадлежит показателю m, если m – такое наименьшее натуральное число, что выполняется сравнение
am º 1 mod n. (9.3)
Если а и n являются взаимно простыми, то существует, по крайней мере, одно число m=f(n), удовлетворяющее (9.3). Наименьшее из положительных чисел m, для которых выполняется (9.3), является длиной периода последовательности, генерируемой степенями а.
Справедливы следующие свойства.
Свойство 1. Числа a 0, a 1,…, a m-1 попарно несравнимы по модулю n. Действительно, al º ak mod n, l > k Þ al-k º 1 mod n, где l – k ÎN, l – k < m.
Свойство 2. ag º ag ’ mod n Û g º g ’ mod m. Разделим g, g ’ на m с остатками
g = mq + r, g ’ = mq’ + r’. Тогда ag º ag ’ Û amq+r º amq’+r’ Û ar º ar’ Û r’=r. Отсюда вытекает следующее свойство.
Свойство 3. m | f(n). Число, принадлежащее показателю f(n), называется первообразным корнем по модулю n.
Свойство 4. По любому простому модулю p существует первообразный корень. Первообразные корни существуют по модулям 2, 4, pa, 2 pa,где p – нечетное простое, a Î N.
Свойство 5. Пусть c = f(n) и q1, q2,…, qk – различные простые делители числа c. Число a, взаимно простое с модулем n, будет первообразным корнем тогда и только тогда, когда не выполнено ни одно из следующих сравнений:
Необходимость следует из того, что af(n) º 1 mod n и сравнение не имеет места при меньших показателях степени. Обратно, допустим, что a не удовлетворяет ни одному из сравнений, и пусть a принадлежит показателю m < c. Тогда m | c Þ c=mn. Обозначим через q простой делитель u. Тогда легко получить противоречие:
ac/q= amu/q =(am)u/q º 1 mod n.
Если некоторая последовательность имеет длину f(n), тогда целое число а генерирует своими степенями множество всех ненулевых вычетов по модулю n. Такое целое число называют первообразным корнем числа а по модулю n. Количество их равно для числа n
f(n-1), (9.4)
где f - функция Эйлера.
Пример ( Проверка Свойства 5. ). Пусть n =41. Имеем c = f(41) = 40 = 23 × 5. Итак, первообразный корень не должен удовлетворять двум сравнениям
a 8 º1(mod 41), a20 º1(mod 41).
Испытаем числа 2, 3, 4, …: 28 º 10, 220 º 1, 38 º 1, 48 º 18, 420 º 1, 58 º 18, 520 º 1, 68 º 10, 620 º 40. Отсюда видим, что 6 является наименьшим первообразным корнем по модулю 41.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 314 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!