 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
ЧАСТЬ 2. Министерство транспорта Российской Федерации
|
|
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ОМСК 2007
 |
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
––––––––––––––––––
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Часть 2
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве
методических указаний к выполнению контрольных работ для студентов
всех специальностей, изучающих курс сопротивления материалов
Омск 2007
УДК 593.3/6(076.5)
ББК 30.121я73
С64
Сопротивление материалов. Часть 2: Методические указания к выполнению контрольных работ студентами всех специальностей, изучающих курс сопротивления материалов / В. К. Окишев, С. П. Андросюк, А. В. Климович,
С. А. Ступаков, А. Г. Патеюк; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. 32 с.
Методические указания содержат основные теоретические сведения по изучаемым разделам курса сопротивления материалов и примеры решения типовых задач с подробными математическими выкладками и словесными пояснениями, а также все основные теоретические зависимости и понятия, необходимые студентам для успешного самостоятельного решения каждой индивидуальной задачи
Предназначены для студентов первого и второго курсов очной и заочной форм обучения специальностей 150800 – «Вагоны», 100700 – «Промышленная теплоэнергетика», 190200 – «Приборы и методы контроля качества и
диагностики», 150700 – «Локомотивы», 181400 – «Электрический транспорт железных дорог», 101800 – «Электроснабжение на железных дорогах», 210700 – «Автоматика, телемеханика и связь на железнодорожном транспорте».
Библиогр.: 3 назв.Рис. 15.
Рецензенты: доктор техн. наук, профессор А. М. Завьялов;
доктор техн. наук, профессор В. А. Николаев.
________________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. 5
1. Растяжение-сжатие. 6
1.1. Основные теоретические сведения. 6
1.1.1. Метод сечений в задачах на растяжение-сжатие. 7
1.1.2. Подбор сечения из условия прочности. 8
1.1.3. Деформация при растяжении-сжатии. 8
1.2. Решение типовой задачи. 9
2. Кручение. 11
2.1. Основные теоретические сведения. 11
2.2. Решение типовой задачи. 13
3. Моменты инерции поперечных сечений стержней. 17
3.1. Основные теоретические сведения. 17
3.2. Решение типовой задачи. 21
4. Расчет на прочность и жесткость балок при изгибе. 23
4.1. Основные теоретические сведения. 23
4.2. Решение типовой задачи по расчету консольной балки. 25
4.3. Решение типовой задачи по расчету двухопорной балки. 29
Библиографический список. 33
ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с учебной программой и формой обучения студенты, обучающиеся по специальностям 150800, 100700, 1902, 150700, 181400 и 210700, должны выполнить определенное количество контрольных работ по специальным дисциплинам.
Настоящие методические указания предназначены для помощи студентам перечисленных выше специальностей при выполнении ими контрольных работ по дисциплинам «Сопротивление материалов», «Прикладная механика», «Механика».
Номера контрольных работ, их содержание, индивидуальные схемы задач, конкретные геометрические размеры и значения физических величин приведены в заданиях на контрольные работы [3].
В данных методических указаниях содержатся необходимые теоретические сведения по каждому изучаемому разделу курса сопротивления материалов, подробно изложены все этапы решения типовых задач контрольных работ.
1. Растяжение-сжатие
1.1. Основные теоретические сведения
Центральным (осевым) растяжением или сжатием называется деформация стержня под действием внешних сил, приложенных по его продольной оси.
Рассмотрим случай осевого растяжения или сжатия (рис. 1.1).
а
б
в
г
Рис. 1.1. Демонстрация метода сечений в задаче на растяжение-сжатие
1.1.1. Метод сечений в задачах на растяжение-сжатие
Для определения внутренних усилий (продольных сил) в стержне используем метод сечений.
Проведем сечение а – а на участке L1(рис. 1.1, а), и рассмотрим равновесие правой отсеченной части. Воздействие левой отброшенной части заменим продольной силой N1. Направим ее от сечения, т.е. предположим, что сила N1 является растягивающей (рис. 1.1, б).
Составим уравнение равновесия, применяя следующее правило знаков: если сила Pi растягивает стержень относительно проведенного сечения, то в уравнении она записывается со знаком «+», а если сжимает его, то учитывается со знаком «–».
Проецируя все силы на ось стержня и приравнивая сумму проекций к нулю, получаем: N1 + 8 –5 = 0, откуда N1 = –3 кН.
Знак минус указывает на то, что направление силы N1 следует изменить на обратное, т.е. продольная сила будет в данном случае не растягивающей, как было сделано предположение, а сжимающей.
Аналогично найдем продольную силу в сечении б – б на участке L2
(см. рис. 1.1, а): N2 = 5 кН (растяжение) (рис. 1.1, в).
Итак, в произвольном сечении стержня возникает внутреннее усилие – продольная сила Ni, которая равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведенного сечения:
Ni = ∑ Pi (односторонних). (1.1)
По результатам вычислений построим эпюру внутренних усилий, в данном случае – эпюру продольных сил (рис. 1.1, г), которая показывает изменение значения продольной силы по длине стержня.
Проверить правильность построения эпюры можно следующим образом: в тех сечениях, где приложены внешние силы, эпюра N всегда имеет скачок на величину соответствующей силы. В соответствии с этим значение реакции RА можно определить из эпюры: RА = 3 кН (см. рис. 1.1, г).
1.1.2. Подбор сечения из условия прочности
Условие прочности для каждого участка прямолинейного стержня, характеризующегося внутренним усилием Ni и площадью поперечного сечения Fi, записывается так:
, (1.2)
где [σ] – допускаемое нормальное напряжение (механическая характеристика, является постоянной величиной для каждого материала, определяется по результатам эксперимента), значение [σ] выбирается из справочника;
σ – расчетное напряжение данного участка.
Из выражения (1.2) получим формулу для нахождения площади сечения стержня:
. (1.3)
Значение продольной силы Ni определяется по эпюре и учитывается по абсолютной величине.
1.1.3. Деформация при растяжении-сжатии
Линейная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению: 
, откуда
, (1.4)
где 
– относительное удлинение стержня;
L – абсолютное удлинение стрежня;
L – длина стержня до деформации;
E – модуль продольной упругости, или модуль упругости первого рода (коэффициент, значение которого зависит от свойств материала) и определяется экспериментально или выбирается из справочника.
Так как 
и , то выражение (1.4) можно представить в виде:
. (1.5)
Удлинение всего стержня, имеющего n участков, относительно начальной точки определяется по формуле:
, (1.6)
т. е. как сумма абсолютных удлинений всех участков стержня.
1.2. Решение типовой задачи
Для прямолинейного стержня (рис. 1.2) записать уравнения продольных сил по участкам. Построить эпюру продольных внутренних усилий N. Подобрать площадь поперечного сечения для каждого участка. Найти перемещение свободного конца стержня.
Рис. 1.2. Пример построение эпюры продольных сил для заданного стержня
Исходные данные для решения задачи: Р1 = 10 кН; Р2 = 30 кН; Р3 = 60 кН; L1 = 1 м; L2 = 0,8 м; L3 = 1,5 м; [σ] = 160· 103 кН/м2; Е = 2· 108 кН/м2.
Решение.
Положение всех сечений стержня будем определять координатой х, отсчитываемой от левого свободного конца стержня. Рассмотрим участок L1 и проведем сечение на расстоянии х1 от левого края стержня.
Первый участок: . 
Запишем уравнение продольной силы N1 согласно формуле (1.1):
N1 = – Р1. (1.7)
Определим площадь F1 стержня на первом участке в соответствии с условием прочности (1.3):
F1 
. (1.8)
После подстановки в выражения (1.7) и (1.8) исходных данных получим: N1 = – 10 кН; F1 
0,625 (см2).
В том же порядке выполним расчет на втором и третьем участках.
Второй участок: 
.
N2 = – Р1 – Р2; (1.9) F2 
. (1.10)
После подстановки в выражения (1.9) и (1.10) исходных данных получим: N2 = – 40 кН; F2 = 2,5 см2.
Третий участок: 
.
N3 = – Р1 – Р2 + Р3; (1.11) F3 
. (1.12)
После подстановки в выражения (1.11) и (1.12) исходных данных получим: N3 = 20 кН; F3 = 1,25 см2.
По результатам расчетов построим эпюру распределения продольной силы вдоль стержня (см. рис. 1.2).
Используя формулу (1.6), запишем уравнение для определения перемещения L свободного конца стержня под действием внешних сил:
. (1.13)
Подставляя в выражение (1.13) исходные данные, получим:
= 0,0658 (см).
2. КРУЧЕНИЕ
2.1. Основные теоретические сведения
Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях вала (бруса) возникают только крутящие моменты Мх.
Крутящий момент Мх в произвольном сечении вала равен алгебраической сумме внешних моментов Мi, лежащих по одну сторону от сечения:
Мх = 
Мi (односторонних). (2.1)
Для крутящего момента принято следующее правило знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны проведенного сечения и видит момент Мх направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным, при противоположном направлении – отрицательным (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Демонстрация правила
знаков при кручении
Тогда для рассматриваемого примера выражение (2.1) примет вид:
Мх – М3 + М2 – М1 = 0. (2.2)
Для расчета вала на прочность следует определить Мх для всех участков вала и построить эпюру Мх по его длине.
Если поперечное сечение вала круглое диаметром d и постоянное по всей длине, то условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:
, (2.3)
где Мх mах – максимальный крутящий момент;
– допускаемое касательное напряжение материала вала;
– полярный момент сопротивления круглого сечения.
Если необходимо найти безопасный диаметр вала, то после подстановки 
в выражение (2.3) получим:
. (2.4)
При деформации кручения отдельные сечения вала поворачиваются относительно друг друга. Характеристикой деформации является угол закручивания 
(рис. 2.2), который представляет собой угол между двумя положениями радиусов в свободном сечении до и после нагружения стержня моментом Мх.
Рис. 2.2. Деформация вала при кручении
Угол закручивания определяется по формуле:
, (2.5)
где G = 8·104 МН/м2 – модуль сдвига для стали (постоянная механическая характеристика материала, определяется экспериментально);
– полярный момент инерции круглого сечения.
2.2. Решение типовой задачи
К стальному валу приложены моменты: M1 = 1000 Н·м; М2 = 1200 Н·м;
М3 = 1500 Н·м; М4 = 2000 Н·м (рис. 2.3).
Построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, определить наибольший относительный угол закручивания.
Рис. 2.3. Демонстрация построения эпюр крутящего момента и угла закручивания при кручении
Исходные данные для решения задачи: а = 1 м; b = 1,5 м; с = 1,2 м;
= 50 МН/м2.
Решение.
1) Построим эпюру крутящих моментов. Для этого на каждом участке вала проведем сечения (1 – 4) и запишем уравнения крутящих моментов как алгебраические суммы внешних моментов, лежащих справа от сечения:
Участок BE: Мх1 = М4 = 2000 Н·м (момент М4 в уравнении записан со знаком «+», так как со стороны проведенного сечения 1 вращение момента М4 направлено по часовой стрелке).
Участок ЕD: Мх2 = М4 – М3; Мх2 = 2000 – 1500 = 500 (Н·м).
Участок DC: Мх3 = М4 – М3 – М2; Мх3 = 2000 – 1500 – 1200 = – 700 (Н·м).
Участок CA: Мх4 = М4 – М3 – М2 – М1; Мх4 = 2000 – 1500 – 1200 – 1000 =
= – 1700 (Н·м).
Эпюра Мх представлена на рис. 2.3. Проверить правильность построения эпюры можно следующим образом: в том сечении, где приложен крутящий момент, эпюра Мх всегда имеет скачок на величину момента. Из эпюры следует, что реактивный момент в заделке МА = 1700 Н·м.
При заданном значении определяем диаметр вала из условия проч-ности (2.3) по формуле (2.4).
Наибольшее значение Мх определяем из эпюры крутящих моментов по абсолютной величине: Mx max = 2000 Н·м.
Тогда из уравнения (2.4) следует:
(2.6)
После подстановки данных в формулу (2.6) получим:
= 0,014 (м).
Из предложенных стандартом профилей круглого сечения (30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм) выбираем ближайшее большее значение d – 30 мм.
2) Построим эпюру углов закручивания.
Левое закрепленное сечение А не поворачивается, поэтому 
= 0.
Углы поворота остальных сечений находим по формуле (2.5), предварительно вычислив величину 
и жесткость вала 
:
. (2.7)
После подстановки данных получим: 
(м4); 
(Н·м2).
Определим угол закручивания на участках СА, DA, EA и BA:
; (2.8)
; (2.9)
; (2.10)
(2.11)
После подстановки значений получим:
(рад); 
(рад); 
(рад); 
(рад).
Отложив найденные значения углов поворота сечений в точках, соответствующим концам рассматриваемых участков, соединим ординаты прямыми линиями, так как согласно формуле(2.5) углы закручивания прямо пропорциональны длине вала L. Полученный график и есть эпюра .
Определим наибольший относительный угол закручивания (на один погонный метр) по формуле:
. (2.12)
Наибольший относительный угол закручивания будет на участке BE:
; 
(рад/м).
Расчет на кручение имеет свои особенности. Построение эпюры Мх для такого вала принципиально не отличается от предыдущего решения, однако следует иметь в виду, что подшипники позволяют валу свободно вращаться и в них реактивные моменты не возникают.
Необходимо также учитывать, что все сечения такого вала вращаются. Для построения эпюры углов закручивания в этом случае условно принимают за неподвижное крайнее левое сечение или правое. Расчетная схема вала, расположенного в подшипниках, эпюры Мх и приведены на рис. 2.4. В качестве неподвижного принято левое сечение.
Рис. 2.4 Демонстрация построения эпюр крутящего
момента и угла закручивания при кручении вала, расположенного в подшипниках
3. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
3.1. Основные теоретические сведения
При изучении центрального растяжения и сжатия было установлено, что прочность и жесткость стержней зависят от площади поперечного сечения стержней. Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. Если представить, что сечение, состоит из множества элементарных площадок dF (рис. 3.1), то площадь всего сечения
. (3.1)
При изучении кручения, изгиба и сложного сопротивления необходимо применять более сложные геометрические характеристики сечений, чем площадь F. Такими характеристиками являются статический момент площади, а также осевой момент инерции
сечения.
Статические моменты площади:
(3.2) 
. (3.3)
Статические моменты площади при известном положении центра тяжести сечения (точка С (zc, yc)) относительно произвольных координатных осей zOy определяются по формулам:
(3.4) 
, (3.5)
где zc, yc – координаты центра тяжести поперечного сечения.
Осевые моменты инерции поперечного сечения:
(3.6) 
. (3.7)
При вычислении геометрических характеристик сечений, имеющих сложные очертания, площадь сечения разбивают на простые элементы. Затем выполняется алгебраическое суммирование соответствующих характеристик простых сечений. Например, моменты инерции сложного сечения равны алгебраической сумме моментов инерции простых сечений (рис. 3.2):
(3.8) 
, (3.9)
где 
– моменты инерции простых сечений, составляющих сложное.
Осевые моменты инерции простейших сечений (прямоугольного, круглого и др.) вычисляются по определенным формулам.
Рассмотрим прямоугольное и круглое сечения (рис. 3.3). Для прямоугольного сечения (рис. 3.3, а)
; (3.10) 
. (3.11)
Для круглого сечения (рис. 3.3, б)
. (3.12)
Для прокатных сечений (двутавра, швеллера, уголка и др.) геометрические характеристики выбираются из специально составленных таблиц (сортамента прокатных профилей), в них прокатные профили упорядочены по номерам, которые связаны с наибольшим геометрическим размером сечения. Например, высота двутавра № 20 составляет 20 см. Рис. 3.3 Простейшие поперечные сечения
стержня: а – прямоугольное; б – круглое
Вычисление геометрических характеристик начинается с определения центра тяжести сечения.
Координаты центра тяжести вычисляются по формулам:
(3.13) 
, (3.14)
где 
– статический момент площади сложного сечения относительно оси z (статический момент площади сложного сечения относительно оси у определяется аналогично);
– площадь поперечного сечения сложного сечения;
– статический момент площади i-го сечения относительно оси z;
Fi – площадь i-го сечения;
zсi, yсi – расстояние от центра тяжести i-го сечения до соответствующей начальной оси.
После определения координат zc, yc дальнейшие расчеты выполняются в центральных осях, т. е. в осях, проходящих через центр
тяжести сечения.
При вычислении геометри-ческих характеристик относительно произвольных осей z1О1y1 (рис. 3.4), параллельных осям zОy, воспользуемся формулами, связывающими координаты z1, y1 с координатами z, y:
(3.15) 
(3.16)
где а, b – расстояние между параллельными осями z и z1, y и y1.
С учетом формул (3.15) и (3.16) определим моменты инерции:
; (3.17)
. (3.18)
В случае, когда оси z и y проходят через центр тяжести поперечного сечения, Sy = 0, Sz = 0, тогда
(3.19) 
(3.20)
При вычислении осевых моментов инерции в параллельных осях для сложного составного сечения
; (3.21) 
, (3.22)
где 
, 
– осевые моменты инерции в осях zy (центральных осях i-го се-чения).
Через центр тяжести сечения можно провести бесконечное число повернутых относительно друг друга прямоугольных систем координат. Относительно одной системы координат моменты инерции обладают свойством экстремальности (один момент инерции – наибольший по значению, другой – наименьший). Такую систему координат называют главной. Ось симметрии поперечного сечения всегда главная.
3.2. Решение типовой задачи
Задано поперечное сечение, состоящее из прокатных профилей: двух швеллеров № 20 и двух равнобоких уголков 70 × 70 × 6 (рис. 3.5). Сечение симметрично относительно оси у. Определить координаты центра тяжести составного сечения, построить главные оси. Вычислить осевые моменты инерции составного сечения.
Решение.
Пользуясь сортаментом прокатных профилей представленным в учебниках [1, 2], выписываем все геометрические размеры и основные характеристики швеллера (рис. 3.6, а) и равнобокого уголка (рис. 3.6, б).
 |
Рис. 3.5. Поперечное сечение стержня
 | |||
 | |||
а б
Рис. 3.6. Прокатные профили сложного сечения: а – швеллер; б – уголок
Швеллер № 20 (ГОСТ 8240-72): Jz = 1520 см4; Jy = 113 см4; Fш = 23,4 см2; zош = 2,07 см; hш = 20 см; bш = 7,6 см.
Равнобокий уголок 70 × 70 × 6 (ГОСТ 8509-86): bу = 7 см; Fy = 8,15 см2; Jz = Jy = 37,6 см4; zоy = 1,94 см.
Каждое поперечное сечение (см. рис. 3.5) обозначим номером и проведем собственные центральные оси. Поскольку составное сечение симметрично, можно указать одну главную центральную ось V. Вторая главная центральная ось U перпендикулярна оси V и проходит через общий центр тяжести сечения.
Найдем положение центра тяжести.
Решение выполняем в произвольной системе координат Z2OV:
(3.23)
где yc – координата общего центра тяжести;
yci – координаты центров тяжести отдельных сечений.
После подстановки данных в выражение (3.23) получим:
(см).
Координаты центров тяжести отдельных сечений определим из чертежа: 
; 
; 
(см).
Отложив на рис. 3.5 координату ус = 2,08 см, проводим вторую главную центральную ось U.
Найдем значения моментов инерции относительно главных осей:
; (3.24)
. (3.25)
После подстановки данных в выражения (3.24) и (3.23) получим:
(см4);
(см4).
Предварительно из чертежа (см. рис. 3.5) были найдены:
; (3.26) 
(3.27) 
, (3.28)
что соответствует значениям: 
(см); 
(см); 
(см); 
(см).
4. Расчет на прочность и жесткость балок при изгибе
4.1. Основные теоретические сведения
Изгибом называется деформация стержня, сопровождающаяся изменением кривизны его оси. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.
В поперечных сечениях балки возникают два внутренних усилия: поперечная сила Qy и изгибающий момент Mz.
Поперечная сила Qy равна алгебраической сумме всех действующих по одну сторону от сечения внешних сил, направленных поперек рассматриваемого стержня. Сила, действующая относительно сечения по часовой стрелке, берется со знаком плюс (+), против часовой стрелки – со знаком минус (–).
Изгибающий момент Mz равен алгебраической сумме моментов односторонних внешних сил, относительно центра тяжести сечения. Изгибающий момент положительный, если для участка балки растянуты нижние волокна, и отрицательный, если растянуты верхние волокна.
Для расчета балки на прочность принято строить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.
Подбор безопасного поперечного сечения выполняется исходя из условия прочности:
, (4.1)
где 
– наибольшее по абсолютной величине значение изгибающего момента, взятого из построенной эпюры;
– допускаемое нормальное напряжение материала;
– осевой момент сопротивления.
Для определения перемещения стрежня при его деформации пользуются универсальным методом Мора, согласно которому рассматриваются два состояния системы: заданное и вспомогательное. Для заданного состояния записываются уравнения Mzi для всех участков.
Вспомогательным называется состояние, получаемое из заданного, если отбросить все внешние нагрузки и приложить вспомогательную единичную силу в том сечении, перемещение которого предполагается определить. Для вспомогательного состояния также записываются уравнения изгибающего момента 
Искомое перемещение определяется по формуле:
, (4.2)
где m – количество участков;
– жесткость стержней.
Если имеются построенные эпюры 
и 
,то перемещение можно вычислить по формуле Симпсона:
(4.3)
где 
– ординаты изгибающих моментов по концам и посредине каждого участка эпюры Mzi;
– ординаты изгибающих моментов по концам и посредине каждого участка эпюры (рис. 4.1).
В формуле (4.3) произведение ординат моментов принимать положительным, если ординаты отложены в одну сторону от оси стержня, и отрицательным, если они отложены в разные стороны.
Рис. 4.1. Демонстрация вычисления
перемещений по способу Симпсона
4.2. Решение типовой задачи по расчету консольной балки
Консольной называется балка, у которой один конец имеет жесткую заделку, а второй совершенно свободен (рис. 4.2).
Для консольной балки написать выражения Qy и Mz по участкам, построить эпюры, найти максимальное (по абсолютной величине) значение Mz max, подобрать деревянную балку круглого поперечного сечения и определить вертикальное перемещение свободного конца балки.
Исходные данные для решения задачи: q = 10 кН/м; М = 6 кН·м; Р = 8 кН; = 8·103 кН/м2; Е = 0,1·108 кН/м2; a = 4 м; с = 2 м.
Решение.
Для определения опорных реакций RA и MA cоставляем уравнения равновесия:
; (4.4)
. (4.5)
Подставляем в уравнения (4.4) и (4.5) исходные данные и получаем: 
(кН·м); 
(кН).
Для проверки составим уравнение равновесия – сумму моментов относительно точки В:
 |
. (4.6)
Рис. 4.2. Эпюры Qy, Mz и для консольной балки
После подстановки данных в уравнение (4.6) получим: 
. Обращение в тождество записанного условия говорит о том, что реакции найдены верно.
Балку разбиваем на участки. В пределах каждого участка проводим в произвольном месте сечения, в данном случае с координатами х1 и х2)
Следуя правилам, приведенным выше, записываем уравнения Qy и Mz по участкам.
Первый участок: 
.
; (4.7) 
. (4.8)
При х1 = 0 
кН; 
кН·м.
При х1 = 4 
(кН); 
(кН·м).
Изгибающий момент на первом участке изменяется по закону квадратной параболы, и для построения эпюры Mz следует определить значения изгибающего момента не менее чем в трех сечениях. Кроме значений Mz по концам участка вычисляют еще Mz в сечении, где изгибающий момент достигает экстремального значения согласно дифференциальной зависимости Журавского:
. (4.9)
Отсюда получаем:
и 
м. При х1 = 3,2 м 
кН·м.
При отсутствии на рассматриваемом участке экстремального значения изгибающего момента в качестве третьей точки выбирается середина участка (х1 = 2). Значение изгибающего момента в этом сечении потребуется и при определении перемещения.
Второй участок: 
.
; (4.10) 
. (4.11)
Получаем:
кН. При х2 = 0 
. При х2 = 2 
(кН·м).
Штриховой линей на рис. 14.2 показана деформация участка под действием силы Р. При такой деформации растянуты нижние волокна, что и объясняет знак изгибающего момента.
Отложив найденные ординаты Qy (положительные – вверх от оси балки, отрицательные – вниз) и Mz (положительные – вниз, отрицательные – вверх, что соответствует построению эпюры Mz со стороны растянутых волокон), строим эпюры Qy и Mz (см. рис. 4.2). Напомним о том, что только эпюра Mz на первом участке криволинейна, на остальных участках ординаты эпюр Qy и Mz соединяем прямыми линиями, что соответствует уравнениям внутренних усилий, записанных для этих участков. Согласно эпюре Mz max = 26 кН·м (по абсолютной величине).
Из условия прочности (4.1) находим требуемый момент сопротивления:
. (4.12)
Момент сопротивления для круглого сечения:
. (4.13)
Приравнивая правые части формул (4.12) и (4.13), находим диаметр сечения балки:
; 
(м) = 32 (см). (4.14)
Обратим внимание на характерные особенности эпюр Qy и Mz. В месте приложения к балке сосредоточенной силы на эпюре Qy имеется скачок, равный силе 8 кН. Второй скачок на этой эпюре, равный 32 кН, соответствует реакции RA в заделке. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент на эпюре Mz, имеется скачок 6 кН·м, равный этому моменту. Второй скачок на эпюре Mz, равный 26 кН·м, соответствует реактивному моменту MA в заделке.
Для определения вертикального перемещения свободного конца балки (сечение С) выбираем вспомогательное единичное состояние (см. рис. 4.2), приложив единичную сосредоточенную силу в сечении С, и строим эпюру .
Рассматриваемый участок: 
.
= 
. При х = 0 = 0. При х = 6 = – 6.
Определив предварительно момент инерции Jz и перемножив эпюры Mz и по формуле (4.3), находим вертикальное перемещение сечения С.
Момент инерции для круглого поперечного сечения определяем по формуле (3.12): 
.
Тогда согласно уравнению (4.3)
.
Знак минус (–) в ответе означает, что перемещение не совпадает с тем направлением, которое указано на вспомогательном единичном состоянии.
4.3. Решение типовой задачи по расчету двухопорной балки
Для двухопорной балки (рис. 4.3) написать выражения Qy и Mz в общем виде по участкам, построить эпюры Qy и Mz, найти Mz max (по абсолютной величине) и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при
= 160·103 кН/м2.
Исходные данные для решения задачи: q = 20 кН/м; М = 160 кН·м;
Р = 8 кН; Р = 20 кН; a = 2 м; b = 8 м; с = 2 м.
Решение.
Для определения реакций RА и RВ составим два уравнения равновесия так, чтобы эти реакции можно было найти независимо друг от друга:
; (4.15)
. (4.16)
 |
После вычислений получим: RА = 72 кН; RВ = 148 кН.
Рис. 4.3. Эпюры Qy и Mz для двухопорной балки
Для проверки правильности вычисленных реакций RА и RВ составим следующее уравнение равновесия:
. (4.17)
После подстановки значений получим: 
.
Следовательно, реакции найдены верно.
Балку разбиваем на три участка. В пределах каждого участка проводим произвольное сечение (с координатами х1, х2, х3). Обращаем внимание на то, что третий участок проще рассматривать с правой стороны, выбирая начало координат в правой крайней точке участка.
Запишем уравнение Qy и Mz по участкам.
Первый участок: 
.
; (4.18) 
. (4.19)
Получаем:
кН. При х1 = 0 
. При х1 = 2, 
(кН·м).
Обе эпюры на первом участке линейны (см. рис. 4.3).
Второй участок: 
.
; (4.20)
. (4.21)
Эпюра 
линейна. Для ее построения находим значения в начале и конце участка.
При х2 = 2 
кН. При х2 = 10 
(кН).
Эпюра Mz меняется по квадратной параболе, следовательно, для ее
построения необходимо определить Mz не менее чем в трех сечениях. Вычислим значения изгибающего момента в начале и в конце участка.
При х2 = 2, 
(кН·м);
При х2 = 10, 
(кН·м).
Третье значение Mz возьмем в том сечении, где изгибающий момент принимает экстремальное значение. Согласно дифференциальной зависимости Журавского в этом сечении
, (4.22)
тогда 
; 
, 
(м) и изгибающий
момент в этом сечении 
(кН·м).
Третий участок: .
; (4.23) 
. (4.24)
Эпюра 
линейна: при х3 = 0 
кН; при х3 = 2 
(кН).
Эпюра Mz3 – квадратная парабола: при х3 = 0 
; при х3 = 2 
(кН·м).
Третью ординату Mz3 возьмем посредине участка: при х3 = 1, 
кН·м.
Согласно эпюре (см. рис. 4.3) Mz max = 144 кН·м.
Их условия прочности (4.1) находим требуемый момент сопротивления: 
; 
(см3).
По сортаменту прокатных профилей (ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр № 40, у которого = 953 см3.
Библиографический список
1. Смирнов А. Ф. Сопротивление материалов / А. Ф. Смирнов,
А. В. Александров, Н. И. Монахов. М.: Высшая школа, 2000. 320 с.
2. Степин П. А. Сопротивление материалов / П. А. Степин. М.: Высшая школа, 2001. 380 с.
3. Сопротивление материалов / В. К. Окишев, С. П. Андросюк, и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2007. ч. 1. 24 с.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
