Изоморфизм линейных пространств

ЗАДАЧИ

3.14. Дана система многочленов: , , , . Найти линейные комбинации многочленов этой системы:

1) ; 2) , 3) .

3.15. Доказать, что многочлены образуют базис в пространстве . Найти координаты многочлена в этом базисе.

3.16. Найти координаты многочлена в базисе .

Изоморфизм линейных пространств

Пусть – вещественное линейное -мерное пространство и – некоторый его базис.

Каждый элемент пространства согласно определению 4.2 и теореме 4.1 однозначно представляется в виде

. (5.1)

В силу равенства (5.1) элементу из пространства отвечает строка , состоящая из координат этого элемента (в базисе ). Таким образом, посредством соотношений вида (5.1) устанавливается взаимно однозначное соответствие между элементами пространства и элементами -мерного арифметического пространства (см. пример 2° из § 1). Более того, если элементы и пространства отвечают соответственно элементам и пространства , то в силу теоремы 4.2 элементу отвечает элемент

,

а элементу при любом вещественном отвечает элемент

.

Таким образом, различные линейные пространства одной и той же размерности по своей алгебраической структуре идентичны пространству всевозможных строк из чисел и, следовательно, по существу не отличаются друг от друга; они, как принято говорить, изоморфны между собой.

Определение 5.1. Линейные пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если ( соответствует ) и , где , , то

, (5.2)

и при любой постоянной

. (5.3)

Теорема 5.1. Если линейные пространства и изоморфны, то нулевому элементу отвечает нулевой элемент , и наоборот.

Доказательство. Пусть пространства и изоморфны и элементу отвечает элемент . Тогда имеет место соответствие (5.3), полагая в котором , будем иметь

. (5.4)

Но в силу теоремы 2.3 и , так что выражение (5.4) говорит о соответствии нулевых элементов: . ■

Теорема 5.2. Для того чтобы два линейных пространства были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые размерности.

Доказательство необходимости. Пусть пространства и изоморфны и элементам отвечают соответственно элементы . Тогда в силу соотношений (5.2) и (5.3)

, (5.5)

где – какие угодно числа.

Допустим, что – линейно зависимы, то есть существуют числа , не все равные нулю, такие, что

.

Но тогда в силу соотношения (5.5) и теоремы 5.1

,

то есть элементы также являются линейно зависимыми. Следовательно, максимальное число линейно независимых элементов в каждом из пространств и одно и то же.

Таким образом, два изоморфных пространства имеют одинаковую размерность, или, что то же, пространства разной размерности не могут быть изоморфны.

Доказательство достаточности. Пусть даны два линейных -мерных пространства и . Выберем в каждом их них по базису: – в и – в . Элементам и из таким, что

, ,

поставим в соответствие элементы и из , имеющие те же самые координаты в базисе :

, .

Тогда, рассуждая как в начале параграфа, приходим к соотношениям (5.2) и (5.3). Следовательно, и изоморфны.

Замечание. В силу теоремы 5.2 единственной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность.

Пример. Доказать, что матрицы образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка два и найти координаты матрицы в этом базисе, если

, , , , .

Решение. Пространство квадратных матриц порядка изоморфно -мерному арифметическому пространству , так что рассматриваемые матрицы находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами

, , ,

,

пространства . Составим матрицу из координат векторов и найдём её ранг:

.

Итак, ранг матрицы равен числу ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы, то есть . Следовательно, векторы линейно независимы и образуют, таким образом, базис пространства . Из теоремы 5.2 следует, что матрицы линейно независимы, а это значит, что они образуют базис в пространстве квадратных матриц второго порядка.

Найдём коэффициенты разложения по этому базису матрицы :

,

что равносильно разложению с теми же коэффициентами вектора по векторам :

или

Решая эту систему, получаем

.

Итак,

.