![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ПЕРВЫЙ КУРС
Сначала - разбор тех задач, которые ни у кого в команде не получились на внутреннем туре.
№3 и №6
Найти максимальное значение площади треугольника, вписанного в эллипс с полуосями a,b.
Решение. Представим эллипс с полуосями как проекцию окружности радиуса
. Сначала найдём площадь максимального треугольника, вписанного в окружность. Это – равносторонний треугольник. (см. чертёж).
, тогда
. Тогда сторона треугольника
, а его высота
.
. Площадь проекции меньше в
раз и составляет
.
2) Дана матрица B = . При каждом
существует два разных собственных числа и два линейно независимых собственных вектора. Найти предел угла между этими собственными векторами при
.
Решение. Характеристическая матрица: =
.
Собственные числа ,
. Найдём собственные векторы.
, вектор (1,0).
,
, вектор
.
Угол между ними можно вычислить с помощью скалярного произведения и их модулей.
Предел
, это косинус предельного угла,
.
Другие задачи:
3) Найти отношение , при котором угол между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида вращения, лежащими в двух перпендикулярных вертикальных плоскостях, составляет 30 градусов.
Справка. Уравнение однополостного гиперболоида вращения .
(Внутренняя, ТУСУР, 2012)
РЕШЕНИЕ. Возьмём точки, принадлежащие гиперболоиду, на осях Ох и Оу: и
. Прямолинейные образующие гиперболоида лежат в вертикальных плоскостях с уравнениями
и
. Подставляя в уравнение гиперболоида, получим уравнения искомых прямых:
и
. Они пересекаются там, где пересекаются две вертикальные плоскости, то есть над и под точкой
, а именно в точках
и
. Рассмотрим две образующих, которые пересекаются в точке
. Первая из них проходит через
и
, значит, направляющим вектором может служить
, вторая через
и
, направляющим вектором может служить
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() |
4) Доказать, что для любой пары различных точек и
, взятых на графике функции
, существует единственная кривая
, являющаяся касательной к графику этой функции в точках
и
.
(городская, ТУСУР, 2007).
РЕШЕНИЕ. Обозначим ;
, причём
. Для того, чтобы графики двух функций
и
касались в точках
и
, требуется:
,
,
,
.
Отсюда получаем систему:
При двух заданных различных числах это система с 4 неизвестными
. Если её основная матрица невырожденная, то существует единственное решение. Докажем, что определитель основной матрицы не равен 0:
=
=
=
=
=
.
Поскольку координаты точек А и В различны, основная матрица системы невырожденная, решение системы существует и единственно. Следовательно, касательная кривая существует и она единственна.
2-3 курс. Сначала - задачи, которые у многих не получились на внутр туре: №1 и №5
1) Найти сумму функционального ряда: .
Решение. Очевидно, в нуле . Рассмотрим сумму
, она в точности равна
, то есть
, то есть
. В то же время для 1-й производной верно
. Известно, что
, то есть
. Т.е. искомая сумма
. Осталось вычислить интеграл (по частям в два шага) на отрезке [0,x]
,
,
,
, следовательно,
=
на втором шаге ,
,
,
,
то есть получаем . В итоге
2) Найти решение уравнения ,
.
Решение. Поскольку определённый интеграл равен const, то при дифференцировании по t получаем . Решая это дифференциальное уравнение получим
. Из условия u(0)=1 находим С1+С2=1, т.е. С2=1-С1, тогда
. Подставляем в исходное уравнение и решаем его, чтобы найти С1.
,
. Отсюда
, тогда
.
Другие задачи:
3) Найти сумму всех корней степени из числа
.
(городская, ТУСУР 2007).
РЕШЕНИЕ. Модуль числа и модули любого из его корней равны 1. Аргумент числа
равен
. По известной формуле, все
корней из числа
можно записать так:
,
или
.
При этом ,
Умножим любой корень на число ,
,1.
![]() | Геометрически умножение на ![]() ![]() ![]() ![]() |
По формуле умножения комплексных чисел получим, что
Таким образом, для суммы верно: , причём
. Отсюда следует, что
.
ОТВЕТ: .
4) Вычислить интеграл . (городская, ТУСУР, 2007).
РЕШЕНИЕ. Интеграл по всей плоскости при вычислении в полярных координатах
приводит к несобственному интегралу относительно переменной
.
=
Вычислим интеграл по переменной , в интеграле по переменной
выполним подведение под знак дифференциала.
. Далее возможно два случая:
1) при получим
.
2) при получим
ОТВЕТ. =
Дата публикования: 2015-04-09; Прочитано: 1378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!