 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Найти максимальное значение площади треугольника, вписанного в эллипс с полуосями a,b
|
|
ПЕРВЫЙ КУРС
Сначала - разбор тех задач, которые ни у кого в команде не получились на внутреннем туре.
№3 и №6
Найти максимальное значение площади треугольника, вписанного в эллипс с полуосями a,b.
Решение. Представим эллипс с полуосями 
как проекцию окружности радиуса 
. Сначала найдём площадь максимального треугольника, вписанного в окружность. Это – равносторонний треугольник. (см. чертёж). 
, тогда 
. Тогда сторона треугольника 
, а его высота 
.
. Площадь проекции меньше в 
раз и составляет 
.
2) Дана матрица B = 
. При каждом существует два разных собственных числа и два линейно независимых собственных вектора. Найти предел угла между этими собственными векторами при 
.
Решение. Характеристическая матрица: 
= 
.
Собственные числа 
, 
. Найдём собственные векторы.
, вектор (1,0).
, 
, вектор 
.
Угол между ними можно вычислить с помощью скалярного произведения и их модулей.
Предел 
, это косинус предельного угла, 
.
Другие задачи:
3) Найти отношение 
, при котором угол между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида вращения, лежащими в двух перпендикулярных вертикальных плоскостях, составляет 30 градусов.
Справка. Уравнение однополостного гиперболоида вращения 
.
(Внутренняя, ТУСУР, 2012)
РЕШЕНИЕ. Возьмём точки, принадлежащие гиперболоиду, на осях Ох и Оу: 
и 
. Прямолинейные образующие гиперболоида лежат в вертикальных плоскостях с уравнениями 
и 
. Подставляя в уравнение гиперболоида, получим уравнения искомых прямых: 
и 
. Они пересекаются там, где пересекаются две вертикальные плоскости, то есть над и под точкой 
, а именно в точках 
и 
. Рассмотрим две образующих, которые пересекаются в точке . Первая из них проходит через и , значит, направляющим вектором может служить 
, вторая через и , направляющим вектором может служить
 . Угол между ними вычисляется как  =  .
Если угол 30 градусов, то  ,  . Ответ.  .
| 
|
4) Доказать, что для любой пары различных точек 
и 
, взятых на графике функции 
, существует единственная кривая 
, являющаяся касательной к графику этой функции в точках и .
(городская, ТУСУР, 2007).
РЕШЕНИЕ. Обозначим 
; 
, причём 
. Для того, чтобы графики двух функций и касались в точках и , требуется:
, 
, 
, 
.
Отсюда получаем систему: 
При двух заданных различных числах 
это система с 4 неизвестными 
. Если её основная матрица невырожденная, то существует единственное решение. Докажем, что определитель основной матрицы не равен 0:
= 
= 
=
= 
= 
.
Поскольку координаты 
точек А и В различны, основная матрица системы невырожденная, решение системы существует и единственно. Следовательно, касательная кривая существует и она единственна.
2-3 курс. Сначала - задачи, которые у многих не получились на внутр туре: №1 и №5
1) Найти сумму функционального ряда: 
.
Решение. Очевидно, в нуле 
. Рассмотрим сумму 
, она в точности равна 
, то есть 
, то есть 
. В то же время для 1-й производной верно 
. Известно, что 
, то есть 
. Т.е. искомая сумма 
. Осталось вычислить интеграл (по частям в два шага) на отрезке [0,x]
, 
, 
, 
, следовательно,
= 
на втором шаге 
, 
, , ,
то есть получаем 
. В итоге 
2) Найти решение уравнения 
, 
.
Решение. Поскольку определённый интеграл равен const, то при дифференцировании по t получаем 
. Решая это дифференциальное уравнение получим 
. Из условия u(0)=1 находим С1+С2=1, т.е. С2=1-С1, тогда 
. Подставляем в исходное уравнение и решаем его, чтобы найти С1.
, 
. Отсюда 
, тогда 
.
Другие задачи:
3) Найти сумму всех корней степени 
из числа 
.
(городская, ТУСУР 2007).
РЕШЕНИЕ. Модуль числа и модули любого из его корней равны 1. Аргумент числа равен 
. По известной формуле, все корней из числа можно записать так:
, 
или 
.
При этом 
, 
Умножим любой корень на число 
, 
,1.
| Геометрически умножение на  увеличивает аргумент каждого корня на  , что соответствует повороту векторов на угол ; и точки  переходят друг в друга.
|
По формуле умножения комплексных чисел получим, что
Таким образом, для суммы верно: 
, причём . Отсюда следует, что 
.
ОТВЕТ: .
4) Вычислить интеграл 
. (городская, ТУСУР, 2007).
РЕШЕНИЕ. Интеграл по всей плоскости 
при вычислении в полярных координатах 
приводит к несобственному интегралу относительно переменной 
.
= 
Вычислим интеграл по переменной 
, в интеграле по переменной 
выполним подведение под знак дифференциала. 
. Далее возможно два случая:
1) при 
получим 
.
2) при 
получим 
ОТВЕТ. = 
Дата публикования: 2015-04-09; Прочитано: 1406 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
