Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Найти максимальное значение площади треугольника, вписанного в эллипс с полуосями a,b

ПЕРВЫЙ КУРС

Сначала - разбор тех задач, которые ни у кого в команде не получились на внутреннем туре.

№3 и №6

Найти максимальное значение площади треугольника, вписанного в эллипс с полуосями a,b.

Решение. Представим эллипс с полуосями как проекцию окружности радиуса . Сначала найдём площадь максимального треугольника, вписанного в окружность. Это – равносторонний треугольник. (см. чертёж). , тогда . Тогда сторона треугольника , а его высота .

. Площадь проекции меньше в раз и составляет .

2) Дана матрица B = . При каждом существует два разных собственных числа и два линейно независимых собственных вектора. Найти предел угла между этими собственными векторами при .

Решение. Характеристическая матрица: = .

Собственные числа , . Найдём собственные векторы.

, вектор (1,0).

, , вектор .

Угол между ними можно вычислить с помощью скалярного произведения и их модулей.

Предел , это косинус предельного угла, .

Другие задачи:

3) Найти отношение , при котором угол между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида вращения, лежащими в двух перпендикулярных вертикальных плоскостях, составляет 30 градусов.

Справка. Уравнение однополостного гиперболоида вращения .

(Внутренняя, ТУСУР, 2012)

РЕШЕНИЕ. Возьмём точки, принадлежащие гиперболоиду, на осях Ох и Оу: и . Прямолинейные образующие гиперболоида лежат в вертикальных плоскостях с уравнениями и . Подставляя в уравнение гиперболоида, получим уравнения искомых прямых: и . Они пересекаются там, где пересекаются две вертикальные плоскости, то есть над и под точкой , а именно в точках и . Рассмотрим две образующих, которые пересекаются в точке . Первая из них проходит через и , значит, направляющим вектором может служить , вторая через и , направляющим вектором может служить

. Угол между ними вычисляется как = . Если угол 30 градусов, то , . Ответ. .  

4) Доказать, что для любой пары различных точек и , взятых на графике функции , существует единственная кривая , являющаяся касательной к графику этой функции в точках и .

(городская, ТУСУР, 2007).

РЕШЕНИЕ. Обозначим ; , причём . Для того, чтобы графики двух функций и касались в точках и , требуется:

, , , .

Отсюда получаем систему:

При двух заданных различных числах это система с 4 неизвестными . Если её основная матрица невырожденная, то существует единственное решение. Докажем, что определитель основной матрицы не равен 0:

= = =

= =

.

Поскольку координаты точек А и В различны, основная матрица системы невырожденная, решение системы существует и единственно. Следовательно, касательная кривая существует и она единственна.

2-3 курс. Сначала - задачи, которые у многих не получились на внутр туре: №1 и №5

1) Найти сумму функционального ряда: .

Решение. Очевидно, в нуле . Рассмотрим сумму , она в точности равна , то есть , то есть . В то же время для 1-й производной верно . Известно, что , то есть . Т.е. искомая сумма . Осталось вычислить интеграл (по частям в два шага) на отрезке [0,x]

, , , , следовательно,

=

на втором шаге , , , ,

то есть получаем . В итоге

2) Найти решение уравнения , .

Решение. Поскольку определённый интеграл равен const, то при дифференцировании по t получаем . Решая это дифференциальное уравнение получим . Из условия u(0)=1 находим С12=1, т.е. С2=1-С1, тогда . Подставляем в исходное уравнение и решаем его, чтобы найти С1.

, . Отсюда , тогда .

Другие задачи:

3) Найти сумму всех корней степени из числа .

(городская, ТУСУР 2007).

РЕШЕНИЕ. Модуль числа и модули любого из его корней равны 1. Аргумент числа равен . По известной формуле, все корней из числа можно записать так:

, или .

При этом ,

Умножим любой корень на число , ,1.

Геометрически умножение на увеличивает аргумент каждого корня на , что соответствует повороту векторов на угол ; и точки переходят друг в друга.  

По формуле умножения комплексных чисел получим, что

Таким образом, для суммы верно: , причём . Отсюда следует, что .

ОТВЕТ: .

4) Вычислить интеграл . (городская, ТУСУР, 2007).

РЕШЕНИЕ. Интеграл по всей плоскости при вычислении в полярных координатах приводит к несобственному интегралу относительно переменной .

=

Вычислим интеграл по переменной , в интеграле по переменной выполним подведение под знак дифференциала. . Далее возможно два случая:

1) при получим .

2) при получим

ОТВЕТ. =


Дата публикования: 2015-04-09; Прочитано: 1378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...