УПРАЖНЕНИЯ. 1. Проверить справедливость равенств для данных числовых матриц:

1. Проверить справедливость равенств для данных числовых матриц:

a) ;

b) ;

c) ;

d) , то .

2. Установить, какая из приведенныхниже квадратичных форм положительно определена:

a) Q (h) = h ²₁ + 2 h ²₂ – 3 h ²₃ – 6 h ₁ h ₂ + 8 h ₁ h ₃ – 4 h ₂ h ₃;

b) Q (h) = h ²₁ + 5 h ²₂ – 3 h ²₃ – 4 h ₁ h ₂ - 2 h ₁ h ₃ – 2 h ₂ h ₃;

c) Q (h) = h ²₁ + h ²₂ – h ²₃ – h ₁ h ₂ + 2 h ₁ h ₃ – 2 h ₂ h ₃.

3. Проверить, что матрица

имеет собственные значения l₁ = 7, l₂ = l₃ = 1. Найти ее собственные векторы. Построить ортонормированный базис в E ₃из собственных векторов матрицы 1. Оценить норму матрицы,

4. Проверить, что точки (0, 3, 1), (О, 1, -1), (1, 2, 0), (2, 1, 1), и (2, 3, -1) являются стационарными точками функции

f (x) = x² ₁ + x² ₂ + x² ₃ + 2x₁x₂x₃ – 4x₁x₃ - 2x₂x₃ – 2x₁ – 4x₂ + 4x₃ .

Найти точки минимума этой функции, используя достаточное условие минимума.

5. С помощью классического метода найти точки минимума функций:

a) f (x) = x² ₁ + x² ₂ - 3x₁x₂;

b) f (x) = 2x² ₁ + x² ₂ + x² ₃ + 2x₁x₂x₃ + 6x₁ + 6x₂ + 4x₃.