Правила дифференцирования. Приведем основные правила для нахождения производной:

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

u (x)± v (x)) ' = u' (x)± v' (x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u (x) v (x)) ' = u' (x) v (x) +u (x) v' (x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu (x)) ' = cu' (x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u (x) /v (x)) ' = (u' (x) v (x) -u (x) v' (x)) /v 2(x)

при условии, что v(x)№ 0.

- Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке, тогда дифференцируемыми в этой точке будут 1)u(x)/v(x), причем , .

Док-во:

2-3)(допис)

23 - Теорема о диф. сложной функции.

Пусть функция , дифф. В точке t=t0, а функция - дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке t=t0, причем .

24 -Теорема о диф. обратной функции – производная обратной функции y=f(x) – опр., непрерывна и строго монотонна на х, f ‘ (x0)=/=0. Тогда производная ф-ии df^-1(x0)/dy=1/df(0)/dx/

25 - Дифференциал функции – определение, геометрический смысл. Доказать инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называют главную линейную, относительно приращения аргумента, часть полного приращения функции в данной точке.

Инвариантность формы первого дифференциала.

; , где Х – независимая переменная.

25 – Формулировки теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

- теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы на интервале (a,b); 3) тогда .

-Теорема Лагранжа

Если функция f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [ a, b ], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f (b) − f (a) = f '(c)·(b − a).

-Теорема Ролля

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0.

- Теорема Ферма

Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на интервале (a, b) и в некоторой точке x ₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда f '(x ₀) = 0.

27 - Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .

28 - Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмических функций.

1) , где s>0, x>0; .

2) ; ; = ; .

3) (по транзитивности)

29 - Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.

Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 , расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: .

30 -Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ;

- с остаточным членом в форме Пеано.

, где

1) Пеано

2) где - Лагранж

3) - Коши

, , ,

, т.к. sin x - нечет., то вып. усл.:

(допис)

31 - Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать необходимое условие.

Пусть функция определена и дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы (с, ), была точкой перегиба графика функции , необходимо чтобы .

32 - необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0.

- достаточное условие существования экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

- второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.???? Допис

-Дифференцирование ф-ции в точке - ф-я у=f(x) наз. дифференцируемой в т. Х0, если она опр. в окрестности Х0, если её приращения дельта у может быть представлено в виде дельта у = А*дельта х плюс о(дельта х), где А - const(ост дописать).

*Дифференциал функции- главная часть приращения, линейная(1й степени), отн приращения к аргументу(допис).

-Теорема о связи дифференцируемой ф-ции с ф-ей имеющей производную. Ф-я у=f(x) дифференцируема в т. Х0 т3, когда существует производная ф-ции в этой точке, при этом dy=f'(x)* (Доказательство - фото)