Лабораторная работа №2. Изучение статистических закономерностей, возникающих при проведении измерений

Изучение статистических закономерностей, возникающих при проведении измерений

Оборудование: прибор для измерения сопротивления резистивного провода FPM – 01.

Теоретическая часть

Погрешность измерений

Все физические законы установлены на основе экспериментов. Физический эксперимент, в свою очередь, основан на измерении тех или иных физических величин. Измерением называется процесс сравнения измеряемой величины с ее эталонным значением, принятым за единицу.

Несовершенство измерительных приборов и органов чувств человека, а также влияние различных, не учитываемых факторов, приводит к погрешности в измерениях. Поэтому, измерив некоторую физическую величину, необходимо знать, с какой точностью она измерена.

Погрешности измерений (ошибки) делятся на:

случайные;

систематические;

промахи.

Промахи (грубые ошибки) обычно являются результатом недосмотра или низкой квалификации экспериментатора. При их обнаружении ошибочные результаты отбрасываются.

Систематические ошибки связаны с несовершенством приборов (например, неправильная шкала), а также влиянием посторонних факторов (например, влияние магнитного поля Земли при измерении магнитной индукции в соленоиде). Такие ошибки не могут быть исключены или уменьшены многократными измерениями. Однако, их можно проанализировать и скомпенсировать путем внесения поправок в результаты эксперимента.

Случайные ошибки обусловлены несовершенством органов чувств человека и влиянием различных случайных факторов, которые невозможно учесть заранее. Случайные ошибки могут отклонять результат измерений от истинного значения физической величины в обе стороны, то есть могут менять величину и знак от опыта к опыту. Уменьшить влияние случайных погрешностей и оценить их величину можно за счет многократного повтора измерений.

Учёт случайных ошибок

Пусть в результате большого числа измерений, получены следующие значения измеряемой физической величины :

. (1)

Среднеарифметическое значение величины равно:

. (2)

Среднеарифметическая погрешность вычисляется по формуле:

. (3)

Среднеквадратическая погрешность определяется по формуле:

. (4)

Грубая оценка интервала, к которому принадлежит истинное значение измеряемой величины, имеет вид:

. (5)

Недостатком оценки (5) является отсутствие данных о степени ее надёжности. В связи с этим, с помощью теории вероятностей получены более строгие, чем (5), оценки погрешности измерений.

Пусть измеренных значений величины принадлежат интервалу

. (6)

Составим отношение . Величина

(7)

есть вероятность того, что истинное значение измеряемой величины принадлежит интервалу (6). Поскольку , то вероятность удовлетворяет условию

. (8)

Гаусс предположил, что:

1. ошибки разных знаков равновероятны;

2. чем больше ошибка по абсолютной величине, тем меньше ее вероятность;

3. число проделанных измерений достаточно велико;

4. ширина интервала (6) достаточно мала.

При выполнении этих условий, как показал Гаусс, вероятность того, что истинное значение измеряемой величины принадлежит интервалу , может быть оценена по формуле:

, (9)

где функция имеет вид:

. (10)

Функция называется функцией распределения Гаусса. Формула (9) тем точнее, чем меньше , и чем больше число измерений .

Полученные Гауссом результаты, позволили сформулировать и решить вопрос о погрешности измерений при влиянии случайных ошибок. Поставим вопрос следующим образом: указать тот интервал

, (11)

которому с заданной вероятностью (“надежностью”) принадлежит истинное значение измеряемой физической величины . Этот интервал называют доверительным интервалом. Обычно в физическом практикуме задается надежность = 0,95 (95%). Ответ на этот вопрос следующий:

, (12)

где величина , называемая коэффициентом Стьюдента, зависит от числа измерений , а также от степени требуемой надежности. Эта величена протабулирована, см. таблицу 1.

Таблица 1.

Значения коэффициентов Стьюдента
при различных надежностях и числе измерений

N	0,5	0,7	0,9	0,95	0,98	0,999
	1,00	2,00	6,30	12,7	31,8	636,6
	0,82	1,3	2,90	4,30	7,0	31,6
	0,77	1,25	2,4	3,2	4,5	12,9
	0,74	1,2	2,1	2,8	3,7	8,6
	0,73	1,15	2,0	2,6	3,4	6,9
	0,72	1,1	1,9	2,4	3,1	6,0
	0,71	1,1	1,9	2,4	3,0	5,4
	0,71	1,1	1,9	2,3	2,9	5,0
	0,70	1,1	1,8	2,3	2,8	4,8
	0,69	1,1	1,7	2,1	2,5	3,9
	0,68	1,0	1,7	2,0	2,4	3,5
∞	0,67	1,0	1,6	2,0	2,3	3,3

Относительная ошибка определяется по формуле:

. (13)

Итак, алгоритм обработки результатов многократных измерений физической величины следующий:

1. Провести измерений и зафиксировать результаты единичных измерений.

2. По формуле (2) определить среднее арифметическое значение величины .

3. Вычислить отклонения единичных измерений от среднеарифметического значения по формуле: , .

4. Вычислить величины , .

5. Вычислить среднеквадратичную погрешность по формуле (4).

6. Задать надежность (обычно ) и определить из таблицы 1 коэффициент Стьюдента для измерений.

7. Вычислить величину по формуле (12).

8. Предоставить результат в стандартном виде с указанием его надежности:

, ().

9. Вычислить относительную ошибку по формуле (13).

Погрешность косвенных измерений

Большинство физических величин измеряются не непосредственно, а вычисляются по определенным формулам. Например, удельное сопротивление материала , из которого изготовлен провод, находится по формуле:

,

где – сопротивление проводника, – его длина, – диаметр. Измерив , и можно вычислить .

Ответ на вопрос о том, как найти погрешность косвенно измеряемой величины, если известны погрешности для тех величин, через которые она вычисляется, можно получить, используя понятие частной производной и дифференциала функции многих переменных. Ограничимся случаем, когда косвенно измеряемая величина выражается через непосредственно измеренные величины по формуле:

где - любые числа. Относительная погрешность для величины может быть оценена по формуле:

. (14)

Через обозначено произведение

. (15)

Применим формулу (14) к вычислению погрешности нахождения удельного сопротивления из формулы (13):

, (16)

. (17)