Синтез передавальних функцій фільтрів нижніх частот

У даному розділі розглянутий синтез фільтрів нижніх частот (ФНЧ), призначення яких з мінімальним ослабленням передавати коливання, частоти яких не перевершують заданої граничної частоти, званою частотою зрізу фільтру. В той же час коливання з більш високими частотами повинні істотно пригнічуватися.

Для ФНЧ з частотою зрізу ідеальна амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) має вигляд, показаний на рис. 1, де K(jw) -комплексний коефіцієнт передачі по напрузі.

(4.1)

Рис. 1. Ідеальна АЧХ.

При цьому на форму фазочастотної характеристики ніяких обмежень не накладається. Такий підхід називається синтезом фільтру по заданій амплітудно-частотній характеристиці.

Ідеальна АЧХ (6.1) відповідно до теореми Випалини-Вінера фізично нереалізовувана [2, c. I93]. Тому ідеальну АЧХ апроксимують такою функцією, яка належить фізично реалізовуваному ланцюгу.

У радіотехніці найбільше поширення набули два способи апроксимації - Батерворса і Чебишева. Існують і інші способи апроксимації [3,4].

Один з можливих способів апроксимації ідеальної частотної характеристики ФНЧ побудований на використовуванні коефіцієнта передачі потужності

, (4.2)

де ω_н = ω /ω_c - безрозмірна нормована частота. Коефіцієнт передачі потужності є квадратом модуля комплексного коефіцієнта передачі по напрузі, тобто Кp(ω)= К*(jω)K(jω).

Фільтр нижніх частот, Кр(ω_н), що має, визначуваний (4.2), називають фільтром Батерворса або фільтром з максимально-плоскою характеристикою. Ціле число n= 1,2,3 ... називається порядком фільтру. При будь-кому n, фільтр з коефіцієнтом передачі потужності (4.2) реалізовуваний [2].

У смузі пропускання фільтру, тобто при 0 £ w_н £ 1 квадрат модуля комплексного коефіцієнта передачі по напрузі плавно зменшується із зростанням частоти. На частоті зрізу (при ω_н = 1)ослаблення, що вноситься фільтром (по потужності), складає 10 lg 0.5 = 3 дБ незалежно від його порядку. Чим більше n, тимточніше апроксимується ідеальна АЧХ. На рис. 2 зображені графіки, побудовані по (4.2), для максимально-плоских АЧХ різних порядків. Порядок фільтру звичайно підбирає, виходячи з вимог, що пред'являються до ослаблення сигналів з частотами ω > ω_c.

Рис.2. Нормована частотна характеристика фільтра Батерворса.

Наприклад, знайдемо порядок фільтру Батерворса з частотою зрізу ω_c = 10⁵c^-1, який на частоті ω = 3 ω_c забезпечував би ослаблення сигналу не гірше 26 дБ по відношенню до рівня при ω = 0.

Сформульована умова визначає порядок фільтру як найближче більше ціле число до рішення рівняння

або

.

Вирішуючи це рівняння, одержуємо n = 3.

При значной відбудови сигналу щодо смуги пропускання фільтру, коли ω_н >> 1, з (4.2) одержуємо

,

тобто ослаблення, виражене в децибелах

Звідси витікає, що при збільшенні частоти в два рази ослаблення, що вноситься фільтром Батерворса, зростає приблизно на 20 n lg2 =

= 20 n 0.3 = 6 n дБ. Таким чином, для фільтру цього типу швидкість росту рівня придушення зовні смуги пропускання складає 6 n дБ на октаву або 20 n дБ на декаду.

Для синтезу структури ланцюга необхідно від коефіцієнта передачі потужності, заданого у формі (4.2), перейти до передавальної функції K (р). З цією метою введемо нормовану комплексну змінну p_н = σ_н + jω_н і запишемо (6.2) так [2]:

Kp (p_н) = K (p_н) K (-p_н) = A₁²/ [1 + (- 1) ⁿp_н²ⁿ ]. (4.3)

З (6.3) видно, що функція Kp (p_н) на площіні комплексной змінной p_н має 2 n полюсів, які є кореннями рівняння

1 + (-1) ⁿp_н ^{2 n} = 0. (4.4)

Всі ці корні лежать на колі одиничного радіуса з центром у початку координат. При n = 1 полюси коєфіціента потужності знаходяться з рівняння p_н ² = 1, тобто

p_н1 = 1, p_н2 = -1. (4.5)

Для n = 2 рівняння p_н ⁴ = -1 має чотири корення

p_н1 = e^jπ/4, p_н2 = e^j3π/4, p_н3 = e^j5π/4, p_н4 = e^j7π/4. (4.6)

Нарешті, для фільтру 3-го порядку необхідно вирішити рівняння

p_н ⁶ = 1, яке має шість коренів

p_н1 = 1, p_н2 = e^jπ/3, p_н3 = e^j2π/3, p_н4 = -1, p_н3 = e^j4π/3, p_н4 = e^j5π/3. (4.7)

Таким чином, загальна закономірність при будь-кому n така: всі полюси розташовані на однаковій кутовій відстані один від одного, рівному π /n; якщо n - непарне число, то першій корінь p_н1 =1; якщо n - парно, то p_н1 = exp (jπ /2 n).

Тепер скористаємося тим, що полюси коефіцієнта передачі потужності мають квадрантну симетрії, тобто їх число і конфігурація розташування в обох напівплощинах однакові. Це дозволяє вважати, що тільки ті полюси, які розташовані в лівій напівплощині, відповідають фільтру, що синтезується. Їх "дзеркальні копії" а правій напівплощині відповідають функції K (-р) і відкидаються. Описаний принцип відбору полюсів передавальної функції є основним в процедурі синтезу фільтрів, оскільки на ньому надалі базується реалізація ланцюга.

Як приклад розглянемо задачу визначення передавальної функції ФНЧ з характеристикою Батерворса 2-го порядку. Очевидно, що передавальна функція визначається двома комплексно-зв'язаними полюсами, що лежать в лівій напівплощині (4.6):

Тоді маємо:

(4.8)

Таким чином, для реалізація ФНЧ при n =2 потрібна динамічна система 2-го порядку. Для будь-кого n передавальна функція фільтру Батерворса має вигляд:

(4.9)

де Zнi, i =1. n – відповідні полюси.

Широке вживання знаходить також і інший спосіб апроксимації АЧХ ідеального ФНЧ, що одержав назву чебишевської апроксимації. Коефіцієнт передачі потужності ФНЧ такого вигляду задається формулою:

(4.10)

де ε 1 - постійне число, зване коефіцієнтом нерівномірності характеристики в смузі пропускання; Тн (ω_н) - багаточлен Чебишева n -го порядку. визначуваний виразом: [2].

(4.11)

Функція T_н (x) при будь-кому x, може бути знайдена з рекурентного співвідношення

(4.12)

причому Т₀ (х) =1 і Т₁ (х) = x.

Многочлени Чебишева часто використовуються в різних задачах апроксимації завдяки наступній властивості: серед всіх многочленів n -й ступеня з однаковими коефіцієнтами при старшому ступені аргументу вони найменше відхиляються від нуля на інтервалі

-1 < x < 1. В той же час при | x | >>1 абсолютні значення многочленів Чебишева дуже великі. При | x |® ¥ має місце асимптотика

. (4.13)

За допомогою таких многочленів можна вдало апроксимувати АЧХ ідеального ФНЧ: з (4.10) видно, що в межах смуги пропускання 0 < ω_н < 1 величина К_р (ω_н) гайдається від A ₁² до A ₁²/(1+ e ²), а при

ω_н >>1 фільтр забезпечуватиме велике ослаблення сигналу пропорційне e ² 2^{2( n -1)} ω ^{2 n}.

На рис. 3 зображені типові графіки частотних характеристик передачі потужності для двох чебишевських фільтрів при n =2 і n =3.

_{Рис. 3. Нормована АЧХ фільтра Чебишева.}

З графіків видно, що в смузі пропускання частотні характеристики фільтрів Чебишева немонотонні. Величина пульсацій ослаблення тим вище, чим більше ε. Як випливає з (4.10), збільшення ε приводить до більшого ослаблення сигналів зовні смуги пропускання. Підбором двох параметрів ε і n можна добитися виконання вимог, що пред'являються до фільтру, що синтезується, і по величині пульсацій в смузі пропускання, і по рівню придушення зовні смуги пропускання.

Величину пульсацій β звичайно характеризують відношенням максимального мінімального значень коефіцієнта передачі потужності в смузі пропускання, тобто при 0£ w_н £1. Очевидно, що

, (4.14)

де 0£ e £1.

Оскільки значення β, як правило, задають в децибелах з (4.14) одержуємо вираз для необхідної величини коефіцієнта нерівномірності

, (4.15)

де величина β повинна бути в децибелах.

При вибраній величині коефіцієнта загасання порядок фільтру Чебишева можна визначити виходячи із заданого рівня придушення сигналів зовні смуги пропускання, тобто при ω_н >1 шляхом рішення рівняння

, (4.16)

де γ - заданий рівень придушення в децибелах;ω_н - нормована частота, відповідна заданому рівню придушення.

Рішення (4.16) досить громіздке. Читачу пропонується самостійно знайти це рішення. Вираз для порядку фільтру Чебишева має вигляд: [ 3 ]

, (4.17)

де arch() - зворотний гіперболічний косинус, який можна обчислювати по формулі [7]

(4.18)

Відзначимо, що порядок фільтру Чебишева повинен визначатися як найближче більше ціле число до величини, обчисленої по (4.17). Розглянемо приклад визначення порядку фільтру Чебишева при наступних початкових даних β =0,1 дБ, γ =30 дБ, ω =1,5.

З (4.17) знаходимо n = 6.26, таким чином порядок фільтру n = 7.

При однаковій величині порядку фільтр з чебишевською характеристикою дозволяє істотно краще пригнічувати сигнали, частоти яких лежать зовні смуги пропускання, або при однаковому рівні придушення зовні смуги пропускання фільтр Чебишева має менший порядок в порівнянні з фільтром Ваттерворса.

Як приклад розглянемо фільтр з чебишевською характеристикою 3-го порядку, який на частоті зрізу (ω_н = 1) ослабляє потужність сигналу в 2 рази, тобто точно так, як і фільтр Батерворса. Визначимо рівень ослаблення сигналу, що вноситься цими фільтрами на частоті, в три рази перевищуючу частоту зрізу.

Спочатку знайдемо коефіцієнт нерівномірності ε. Як випливає з (4.14), для β = 2 маємо ε = 1. Многочлен Чебишева 3-го порядку відповідно до (4.12) має вигляд:

,

тоді рівень придушення сигналу чебишевським фільтром 3-го порядку з коефіцієнтом нерівномірності ε = 1 на частоті ω = 3 ω_с складе

.

Для тих же початкових даних фільтр Батерворса третього порядку дає рівень придушення

,

що приблизно на 11 дБ гірше, ніж дає фільтр Чебишева.

Для знаходження передавальної функції чебишевського ФНЧ необхідне аналогічно тому, як і для фільтру Батерворса, спочатку визначити смуги коефіцієнта передачі потужності, які є корінями рівняння

(4.19)

Метод рішення цього рівняння досить громіздкий, і з ним можна ознайомитися в [8]. Практичні розрахунки виконують таким чином [2]. Спочатку обчислюють параметр

(4.20)

Потім знаходять полюси передавальної функції фільтру Батерворса того ж порядку і з тією ж частотою зрізу. Щоб перейти до полюсів передавальної функції чебишевського фільтру, абсцису кожного полюса фільтру Батерворса умножають на sha, а ординату – на cha.

Тоді як полюси фільтру Ваттерворса розташовуються на одиничному колі, полюси фільтру Чебишева лежать на еліпсі, рівняння якого в площинах комплексної змінної p_н = σ_н + j ω_н має вигляд:

Розрахувавши координати полюсів, можна записати вираз передавальної функції чебишевського ФНЧ у вигляді, визначеному виразом (4.9), де під Zнi, i = 1... n розуміються полюси фільтру Чебишева.

Розглянемо приклад знаходження передавальної функції фільтру Чебишева другого порядку з коефіцієнтом нерівномірності ε = 1.

Обчисливши параметр а по (4.20). Одержимо a = ln(1+Ö2) = 0.4407.

Відповідний фільтр Батерворса має передавальну функцію з двома полюсами z_{н 1}=0.707(-1+ j), z_{н 2}=0.707(-1- j).

Тоді абсциси полюсів передавальної функції чебишевського фільтру будуть рівні: -0.707 sha = -0.322, а ординати полюсів складуть

±0.707cha=±0.777.

Цей приклад ілюструє те, що перехід від максимально плоскої до чебишевської характеристики здійснюється шляхом наближення полюсів до уявної осі (рис.4). Переміщення їх по вертикалі не значне. З фізичної точки зору це означає, що коливальна система, відповідна чебишевському фільтру, володіє меншими втратами енергії.

Рис. 4. Наближення полюсів до уявної осі.