Контрольная работа №1. Методические указания по выполнению контрольных работ №1,2 по дисциплине «Математика» для студентов направления 230400 заочной формы обучения

Методические указания по выполнению контрольных работ №1,2 по дисциплине «Математика» для студентов направления 230400 заочной формы обучения

Контрольная работа №1

Задание №1.

Даны матрицы

1. Вычислить матрицу ( - транспонированная матрица).

2. Вычислить определители .

3. Для матрицы А найти обратную , используя алгебраические дополнения, и проверить, что .

4. Записать систему уравнений и решить её матричным методом (используя найденную матрицу ), методом Крамера и методом Гаусса.

Решение

1.

2.

Вычислить определители

Ответ: .

3. Для матрицы А найти обратную используя алгебраические дополнения, и проверить, что

Так как , значит матрица существует.

Проверим условие

4. Записать систему уравнений и решить её матричным методом, используя , методом Крамера и методом Гаусса.

Решим систему матричным методом

Проверка

Решим систему методом Крамера

Решим систему методом Гаусса

Ответ: .

Задание №2.

Даны три точки .

1. Найти косинус угла между векторами и .

2. Найти площадь треугольника по координатам его вершин и полученный результат проверить по формуле . Найти высоту .

Решение

1.

	B

A H C

Найдём координаты векторов и :

.

2. Найдём векторное произведение векторов и

.

.

Найдём длину вектора : .

Следовательно, .

Полученный результат проверим по формуле .

Чтобы найти воспользуемся основным тригонометрическим тождеством .

Следовательно, , .

Окончательно получаем

.

Для нахождения высоты воспользуемся формулой .

Выразим из данной формулы высоту: .

.

Ответ: , , .

Задание №3.

Дано:

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение

Согласно определению и свойствам векторного произведения имеем

(поскольку ).

Тогда .

Ответ: .

Задание №4. Дана пирамида с вершинами в точках , , , . Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань .

Решение

Найдем векторы , и , совпадающие с ребрами пирамиды, отложенные от вершины : , , .

Находим смешанное произведение этих векторов:

.

Тогда .

С другой стороны, и . Найдем ;

.

; .

Отсюда .

Ответ: , .

Задание №5.

задан координатами своих вершин на плоскости: , , . Найти уравнение сторон треугольника, медианы , высоты , окружности, описанной около треугольника.

Решение

1. Составим уравнение стороны . Точки , .

По формуле получаем:

- уравнение стороны .

Составим уравнение стороны . Точки , .

По формуле получаем:

- уравнение стороны .

Составим уравнение стороны . Точки , .

По формуле получаем:

- уравнение стороны .

2. Найдём координаты точки . Так как – середина отрезка , то

Составим уравнение медианы . Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через 2 заданные точки .

По формуле получаем:

- уравнение медианы .

3. Так как , то .

Зная и составим уравнение высоты :

- уравнение высоты .

4. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Составим уравнение серединного перпендикуляра к стороне .

Так как , то .

Зная и составим уравнение серединного перпендикуляра :

- уравнение серединного перпендикуляра .

Составим уравнение серединного перпендикуляра к стороне .

Так как – середина отрезка , то

Так как , то .

Зная и составим уравнение серединного перпендикуляра :

- уравнение серединного перпендикуляра .

Найдём точку пересечения и , для этого решим систему:

Центр окружности .

Найдем радиус этой окружности: . Тогда .

Следовательно, - уравнение окружности, описанной около треугольника.

Задание №6.

Даны три точки А(5;1;2);В(2;-1;0);С(8;-1;2)

Найти:

1. Канонические и параметрические уравнения прямой АВ;

2. Уравнения плоскости Р, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору АВ;

3. Расстояние от точки С до плоскости Р;

4. Координаты точки пересечения плоскости Р с прямой ВС;

5. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку С.

Решение

1. АВ: ,

- каноническое уравнение АВ.

Параметрическое уравнение АВ –

2.

Р:

- уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ.

3. Расстояние от точки С(8;-1;2) до плоскости Р: -3x-2y-2z+21=0

.

4. Пусть К – точка пересечения прямой ВС с плоскостью Р.

Составим уравнение прямой ВС

ВС:

подставим в уравнение плоскости Р:

Тогда , , .

Координаты точки К .

a) С(8;-1;2) и прямая

Возьмём 2 точки данной прямой

при t=0

при t=1

Это и есть уравнение плоскости, проходящую через заданную прямую и точку С.

Задание №7.

Установить вид кривой второго порядка по ее уравнению.

1.

- окружность с центром в точке и радиусом .

2.

- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (-1;2), фокальный параметр .

3. ;

;

;

;

- каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями:

Задание №8.

1. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, если эллипс проходит через точку и имеет эксцентриситет .

Решение

Каноническое уравнение эллипса

.

Так как принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению эллипса:

,

(1)

Зная, что , получаем .

Кроме того, .

Подставляем в (1), получаем: , ,

Следовательно, каноническое уравнение эллипса: .

Ответ: .

2. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, если расстояние между фокусами гиперболы равно 26, а эксцентриситет .

Решение

Каноническое уравнение гиперболы

.

По условию и . Следовательно, большая полуось гиперболы . По формуле находим .

Следовательно, каноническое уравнение гиперболы: .

Ответ: .

3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, если парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку .

Решение

Так как точка лежит на параболе , ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы: , .

Следовательно, каноническое уравнение параболы: .

Ответ: .