![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Методические указания по выполнению контрольных работ №1,2 по дисциплине «Математика» для студентов направления 230400 заочной формы обучения
Контрольная работа №1
Задание №1.
Даны матрицы
1. Вычислить матрицу (
- транспонированная матрица).
2. Вычислить определители .
3. Для матрицы А найти обратную , используя алгебраические дополнения, и проверить, что
.
4. Записать систему уравнений и решить её матричным методом (используя найденную матрицу
), методом Крамера и методом Гаусса.
Решение
1.
2.
Вычислить определители
Ответ: .
3. Для матрицы А найти обратную используя алгебраические дополнения, и проверить, что
Так как , значит матрица
существует.
Проверим условие
4. Записать систему уравнений и решить её матричным методом, используя
, методом Крамера и методом Гаусса.
Решим систему матричным методом
Проверка
Решим систему методом Крамера
Решим систему методом Гаусса
Ответ: .
Задание №2.
Даны три точки .
1. Найти косинус угла между векторами и
.
2. Найти площадь треугольника по координатам его вершин и полученный результат проверить по формуле . Найти высоту
.
Решение
1.
|
![]() |
A H C
Найдём координаты векторов и
:
.
2. Найдём векторное произведение векторов и
.
.
Найдём длину вектора :
.
Следовательно, .
Полученный результат проверим по формуле .
Чтобы найти
воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
.
Следовательно, ,
.
Окончательно получаем
.
Для нахождения высоты воспользуемся формулой
.
Выразим из данной формулы высоту: .
.
Ответ: ,
,
.
Задание №3.
Дано:
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
.
Решение
Согласно определению и свойствам векторного произведения имеем
(поскольку ).
Тогда .
Ответ: .
Задание №4. Дана пирамида с вершинами в точках ,
,
,
. Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань
.
Решение
Найдем векторы ,
и
, совпадающие с ребрами пирамиды, отложенные от вершины
:
,
,
.
Находим смешанное произведение этих векторов:
.
Тогда .
С другой стороны, и
. Найдем
;
.
;
.
Отсюда .
Ответ: ,
.
Задание №5.
задан координатами своих вершин на плоскости:
,
,
. Найти уравнение сторон треугольника, медианы
, высоты
, окружности, описанной около треугольника.
Решение
1. Составим уравнение стороны . Точки
,
.
По формуле получаем:
- уравнение стороны
.
Составим уравнение стороны . Точки
,
.
По формуле получаем:
- уравнение стороны
.
Составим уравнение стороны . Точки
,
.
По формуле получаем:
- уравнение стороны
.
2. Найдём координаты точки . Так как
– середина отрезка
, то
Составим уравнение медианы . Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через 2 заданные точки
.
По формуле получаем:
- уравнение медианы
.
3. Так как , то
.
Зная и
составим уравнение высоты
:
- уравнение высоты
.
4. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Составим уравнение серединного перпендикуляра к стороне
.
Так как , то
.
Зная и
составим уравнение серединного перпендикуляра
:
- уравнение серединного перпендикуляра
.
Составим уравнение серединного перпендикуляра к стороне
.
Так как – середина отрезка
, то
Так как , то
.
Зная и
составим уравнение серединного перпендикуляра
:
- уравнение серединного перпендикуляра
.
Найдём точку пересечения и
, для этого решим систему:
Центр окружности .
Найдем радиус этой окружности:
. Тогда
.
Следовательно, - уравнение окружности, описанной около треугольника.
Задание №6.
Даны три точки А(5;1;2);В(2;-1;0);С(8;-1;2)
Найти:
1. Канонические и параметрические уравнения прямой АВ;
2. Уравнения плоскости Р, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору АВ;
3. Расстояние от точки С до плоскости Р;
4. Координаты точки пересечения плоскости Р с прямой ВС;
5. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку С.
Решение
1. АВ: ,
- каноническое уравнение АВ.
Параметрическое уравнение АВ –
2.
Р:
- уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ.
3. Расстояние от точки С(8;-1;2) до плоскости Р: -3x-2y-2z+21=0
.
4. Пусть К – точка пересечения прямой ВС с плоскостью Р.
Составим уравнение прямой ВС
ВС:
подставим в уравнение плоскости Р:
Тогда ,
,
.
Координаты точки К .
a) С(8;-1;2) и прямая
Возьмём 2 точки данной прямой
при t=0
при t=1
Это и есть уравнение плоскости, проходящую через заданную прямую и точку С.
Задание №7.
Установить вид кривой второго порядка по ее уравнению.
1.
- окружность с центром в точке
и радиусом
.
2.
- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (-1;2), фокальный параметр
.
3. ;
;
;
;
- каноническое уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями:
Задание №8.
1. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, если эллипс проходит через точку и имеет эксцентриситет
.
Решение
Каноническое уравнение эллипса
.
Так как принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению эллипса:
,
(1)
Зная, что , получаем
.
Кроме того, .
Подставляем в (1), получаем:
,
,
Следовательно, каноническое уравнение эллипса: .
Ответ: .
2. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, если расстояние между фокусами гиперболы равно 26, а эксцентриситет .
Решение
Каноническое уравнение гиперболы
.
По условию и
. Следовательно, большая полуось гиперболы
. По формуле
находим
.
Следовательно, каноническое уравнение гиперболы: .
Ответ: .
3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, если парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку .
Решение
Так как точка лежит на параболе
, ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы:
,
.
Следовательно, каноническое уравнение параболы: .
Ответ: .
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 205 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!