Приклади розробки проекту рецептури нової кулінарної продукції на основі математичного моделювання

Необхідно розробити рецептури борошняних виробів, які виготовляються з використанням сироватки та покращувача. При цьому вироби повинні характеризуватися максимально можливим вмістом кальцію(перший критерій) або калію (другий критерій), або вітаміну РР (третій критерій), або білка (четвертий критерій). Крім того для збереження всіх ознак дріжджового виробу повинні виконуватися такі обмеження та умови:

1. Обмеження на мінімально та максимально можливий вміст кожного виду сировини в рецептурі.

2. Необхідні співвідношення між компонентами: а) кількістю борошна та маргарину; б) кількістю борошна та сироватки; в) кількістю борошна та дріжджів; г) кількістю борошна та цукру.

3. Сумарна вага набору сировини в рецептурі складає (прийнята) 12 000 г.

Прийняті позначення

х_і – невідома кількість(г) сировини в рецептурі, і = 1, 2, …, 8;

х ₁ – борошна; х ₂ – дріжджів; х ₃ – цукру; х ₄ – солі; х ₅ – маргарину; х ₆ – сироватки; х ₇ – яєць; х ₈ – покращувача; С_і, К_і, d _і, s _і – вміст (г) відповідно кальцію, калію, вітамінів групи РР, білка у 1 г сировини і -го виду.

З метою знаходження обмежень на мінімальну та максимальну можливу кількість різних видів сировини у борошняному виробі, рецептура якого розробляється (проектується), нами вивчено відомі (діючі) рецептури борошняних виробів, проаналізовано вміст різних видів сировини у кожній з цих рецептур, обрано найменші та найбільші значення. У результаті отримано наступні обмеження:

4395 £ х ₁ £ 8378; (6.1)

8 £ х ₂ £ 260; (6.2)

107 £ х ₃ £ 1826; (6.3)

5 £ х ₄ £ 124; (6.4)

166 £ х ₅ £ 1988; (6.5)

1202 £ х ₆ £ 3908; (6.6)

160 £ х ₇ £ 1350; (6.7)

600 £ х ₈ £ 4800. (6.8)

Під необхідним співвідношенням між деякими двома видами сировини в рецептурі розуміємо наступне: відношення невідомої кількості сировини одного виду до невідомої кількості сировини іншого виду знаходиться в певних межах, тобто, не менше деякої заданої величини і разом з тим не більше деякої максимально можливої величини.

З урахуванням сказаного, а також результатів аналізу деяких рецептур нами одержано наступні обмеження:

1. Співвідношення між кількістю борошна та маргарину в рецептурі

;

або

0,07 х ₅ £ х ₁ £ 13,05 х ₅. (6.9)

2. Співвідношення між кількістю борошна та сироватки

або 1,14 х ₆ £ х ₁ £ 4,03 х ₆. (6.10)

3. Співвідношення між кількістю борошна та дріжджів

або 8,82 х ₂ £ х ₁ £ 57,17 х ₂. (6.11)

4. Співвідношення між кількістю борошна та цукру

або 0,1 х ₃ £ х ₁ £ 14,6 х ₃. (6.12)

Сумарна вага набору сировини у рецептурі складає

(6.13)

Цільові функції

Для різних критеріїв якості борошняних виробів запишемо різні цільові функції. Вміст відповідно кальцію, калію, вітамінів групи РР та білка у рецептурі, що проектується, складає:

– вміст кальцію

– вміст калію

– вміст вітамінів групи РР

– вміст білка

Тоді цільові функції мають вигляд

(6.14)

(6.15)

(6.16)

(617)

Математичне формулювання задач оптимізації

рецептур борошняних виробів

Знайти вектор , який максимізує відповідну цільову функцію (14), (15), (16) або (17), за умови, що шукані величини х ₁, х ₂, …, х ₈ задовольняють системі нерівностей (6.1) – (6.12) та рівнянню (6.13).

Аналіз наведених математичних моделей задач показує, що розглянуті задачі вибору оптимальних рецептур борошняних виробів належать до класу однокритеріальних екстремальних задач лінійного програмування (ЛП), які можуть бути розв’язані симплексним методом [1] з використанням пакету Math Cad [2].

Дослідження показали, що найбільш доцільна кількість добавки складає 10 – 20% від сумарної ваги сировини в рецептурі. Враховуючи сказане, нами здійснювались розрахунки оптимальних рецептур борошняних виробів відповідно за умов х ₈ = 1200 г, х ₈ = 1800 г, х ₈ = 2400 г, (замість нерівності 600 £ х ₈ £ 4800).

Нижче в таблицях 6.16 – 6.19, наведено оптимальні рецептури, які було знайдено викладеним способом за різних критеріїв оптимальності та різних величин покращувача.

Таблиця 6.17 - Оптимальні рецептури борошняних виробів з максимально можливим вмістом кальцію

№ з/п	Назва компонентів рецептури	Маса сировини (г) в рецептурі за різних величин покращувача (в% від маси набору сировини)
10%	15%	20%
	Борошно пшеничне Дріжджі Цукор Сіль Маргарин Сироватка Яйця Добавка
Максимальне значення цільової функції Z 1 max, мг	4011,24		4030,57

Таблиця 6.18 - Оптимальні рецептури борошняних виробів з максимально можливим вмістом калію

№ з/п	Назва компонентів рецептури	Маса сировини (г) в рецептурі за різних величин покращувача (в% від маси набору сировини)
10%	15%	20%
	Борошно пшеничне Дріжджі Цукор Сіль Маргарин Сироватка Яйця Добавка
Максимальне значення цільової функції Z 2 max, мг	15029,7	15039,24	15047,62

Таблиця 6.19 - Оптимальні рецептури борошняних виробів з максимально можливим вмістом білка

№ з/п	Назва компонентів рецептури	Маса сировини (г) в рецептурі за різних величин покращувача (в% від маси набору сировини)
10%	15%	20%
	Борошно пшеничне Дріжджі Цукор Сіль Маргарин Сироватка Яйця Добавка
Максимальне значення цільової функції Z 4 max, мг	853,21	814,24	821,6

Аналіз рецептур, наведених у таблиці 6.19, показує, що в них міститься досить велика кількість солі (очікується, що вироби будуть солонуватими). Ця обставина пояснюється, по-перше, значним вмістом кальцію у солі, по друге, тим, що за критерій оптимальності вибрано максимальний вміст саме кальцію в рецептурі.

Якщо вміст солі суттєво зменшити, наприклад, вибрати рівним х ₄ = 64 г. (замість 5 £ х ₄ £ 124), то оптимальні рецептури виробів, що містять максимум кальцію, будуть мати вигляд, наведений у таблиці 6.20.

Для наведених рецептур максимальна величина кальцію дещо нижча, ніж у випадку, коли вміст солі у рецептурі не фіксувався, а вибирався одночасно з іншими компонентами рецептури в результаті розв’язування задач ЛП. Але ж варто очікувати, що смакові якості виробів, вироблених за цими рецептурами, будуть кращими.

Для того, щоб з’ясувати, які вироби (із виготовлених за рецептурами, що аналізуються) будуть користуватись найбільшим попитом, необхідно провести дослідження якості відповідних експериментальних зразків (результатів відпрацювань рецептур).

Таблиця 6.20 Оптимальні рецептури борошняних виробів з максимально можливим вмістом кальцію (за попередньо вибраною кількістю солі х ₄ = 64 г).