Решение. Для электрического кабеля aэ = 20lg(U1/U2) = 20lg(10/1) = 20 дБ/км (ччерез мощность aэ = 10lg( ) = 10lg(100/1) = 20 дБ/км)

Для электрического кабеля a_э = 20lg(U₁/U₂) = 20lg(10/1) = 20 дБ/км (ччерез мощность
a_э = 10lg() = 10lg(100/1) = 20 дБ/км). Для оптического кабеля a_о = 10lg(P_о1/P_о2) = 10lg(10/1) = 10 дБ/км. Вывод – электрический кабель с a_э = 20 дБ/км эквивалентен по потерям мощности оптическому кабелю с a_о = 10 дБ/км. Приходим к ожидаемому (формула (1.9)) результату – a_о(дБ/км) = a_э(дБ/км)/2.

1.4 Правила выполнения расчетов в логарифмических единицах [2]

1. (Тривиальное.) Значения величин, выраженных в дБ или дБм, нельзя перемножать и делить, а можно только суммировать и вычитать.

2. Результат с суммирования или вычитания двух или более значений величин, выраженных в дБ, например, а и в, всегда имеет размерность дБ (см. формулу (1.3 и пример 1.1))

.

3. Результат с вычитания двух значений а и в уровней мощности, выраженных в дБм, имеет размерность дБ

.

Пример 1.6. Мощность передающего устройства P₁ = 1 мВт, чувствительность приемного устройства P₂ = 1 мкВт = 0,001 мВт. Определить бюджет мощности этой аппаратуры.

Решение. Уровни мощности передающего и приемного устройства соответственно равны a = 10lg1 = 0 дБм, в = 10lg0,001 = –30 дБм. Бюджет мощности аппаратуры
с = a – в = 0 дБм – (–30 дБм) = 30 дБм º 30 дБ.

Проверка. с = a(дБм) – в(дБм) = 10lg(1 мВт/1 мВт) – 10lg(0,001 мВт/1 мВт) =
10lg(1 мВт) – 10lg(1 мВт) – 10lg(0,001 мВт) + 10lg(1 мВт) = 10lg(1 мВт) – 10lg(0,001 мВт) = 10lg(1 мВт/0,001 мВт) = 10lg(1/0,001) = 10lg10³ = 30 дБ.

4. Суммирование уровней мощности, выраженных в дБм, противоречит физическому смыслу. Покажем это на следующем примере.

Пример 1.7. На каждый из двух входных полюсов оптического сумматора (например, разветвителя Y-типа) подаются мощности P₁ = P₂ = 10 мВт. Рассчитать мощность (мВт) и уровень мощности (дБм) на выходе сумматора.

Решение. Очевидно, следует ожидать на выходе сумматора P₃ = P₁ + P₂ =
(10 + 10) мВт = 20 мВт. Попытаемся рассчитать уровень мощности на выходе сумматора, пользуясь единицами дБм. Уровни мощности на каждом из входных полюсов сумматора согласно соотношению (1.4) a = в = 10lg10 = 10 дБм. Формальный расчет уровня мощности на выходном полюсе сумматора дает с = a + в = 10 дБм + 10 дБм = 20 дБм. Потенцированием находим соответствующую мощность P₃ = 10^{с(дБм)/10} = 10^20/10 = 10² мВт = 100 мВт!!!. Этот, явно ошибочный результат, объясняется тем, что аддитивной операции суммирования величин, выраженных в логарифмических единицах, соответствует мультипликативная операции умножения величин, выраженных в физических единицах, а это противоречит условию задачи – суммирование мощностей.

Проверка. Мощность на выходе идеального сумматора P₃ = P₁ + P₂ = (10 + 10) мВт = 20 мВт. Уровень мощности на выходе сумматора с = 10lg[P₃(мВт)] = 10lg(20) = 10lg(2×10) = 10lg2 + 10lg10 = 3 дБм + 10 дБм = 13 дБм (правильный результат).

Примечание. Операция суммирования значений в логарифмических единицах дБм соответствует операции умножения физических величин (устройство умножения). В оптических (физических) системах есть устройства, осуществляющие умножение и деление напряженностей электромагнитного поля, но нет физических устройств, осуществляющих перемножение мощностей.

5. Результат с суммирования или вычитания двух или больше значений величин, одни из которых выражены в дБм, а другие – в дБ, всегда имеет размерность дБм,

.

Пример 1.8. Излучение лазера мощностью P₁ = 2 мВт вводится в оптическое волокно (ОВ) с коэффициентом затухания a = 0,2 дБ/км. Рассчитать уровень мощности на выходе ОВ длиной l = 100 км.

Решение. Уровень мощности лазера a = 10lg2 = 3 дБм. Ослабление (уменьшение мощности) света в ОВ в = al = 0,2 дБ/км 100 км = 20 дБ. Уровень мощности на выходе ОВ
с = a – в = 3 дБм – 20 дБ = –17 дБм.

Проверка. Ослаблению в ОВ в 20 дБ соответствует коэффициент передачи по мощности 10^–2. Мощность на выходе ОВ 2 мВт х 10^–2 = 2×10^–2 мВт. Уровень мощности на выходе с = 10lg2×10^–2 = 10lg2×– 10lg10^–2 = 3 – 20 = –17 дБм (правильный результат).

Пример 1.9. Излучение лазера мощностью P₁ = 1 мВт усиливается в оптическом усилителе с коэффициентом усиления по мощности 100 раз. Рассчитать уровень мощности на выходе этого передающего устройства.

Решение. Уровень мощности лазера a = 10lg1 = 0 дБм. Усиление оптического усилителя в = 10lg100 = 10lg10² = 20 дБ. Уровень мощности на выходе передающего устройства с = a + в = 0 дБм + 20 дБ = 20 дБм.

Проверка. Мощность на выходе передающего устройства 1 мВт х 100 = 100 мВт. Уровень мощности с = 10lg100 = 10lg10² = 20 дБм (правильный результат).

Пример 1.10. Рассчитать коэффициент передачи по мощности идеального (без вносимых потерь) звездообразного разветвителя типа 1´N. Мощность, поступающая на входной порт, делится в равной мере между N выходными портами.

Решение. Коэффициент передачи по мощности звездообразного разветвителя 1´N
а = 10lg(N) и его значение для для N = 4…128 приведено в табл. 1.2.

Таблица 1.2 – Зависимость коэффициента передачи по мощности от числа выходных портов