Уравнение Бернулли

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, находящейся под воздействием только лишь одной массовой силы – силы тяжести. Возьмем одну из струек, составляющих поток, и выделим два произвольных сечения 1 – 1, 2 – 2, для которых справедливо уравнение

2

где z – геометрическая высота или геометрический напор;

P/(ρg) – пьезометрическая высота или пьезометрический напор; W²/(2g) – скоростная высота или скоростной напор.

Уравнение (2) называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Слагаемые уравнения (2) имеют физический, точнее – энергетический, смысл:

z – удельная потенциальная энергия положения сечения, P/(ρg) – удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости; (z + P/(ρg)) – полная удельная потенциальная энергия жидкости; W²/(2g) – удельная кинетическая энергия жидкости; Н = z + P/(ρg) + W²/(2g) – полная удельная энергия движущейся жидкости.

Вывод: Полная удельная энергия идеальной жидкости элементарной струйки остается постоянной вдоль струйки. Таким образом, уравнение Бернулли (2) является частным случаем выражения закона о сохранении энергии. В этом его физический (энергетический) смысл. Может изменяться потенциальная энергия и кинетическая энергия, но при этом их сумма, равная H, неизменна.

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку вязкой жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учитывать, во – первых, неравномерность распределения скоростей по сечению, во – вторых, потери энергии (напора), что является следствием вязкости жидкости.

Относительно двух сечений потока вязкой жидкости и с учетом отмеченного выше уравнения (2) уравнение энергии для потока примет вид:

3

Это уравнение называется уравнением Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости. Слагаемые уравнения (2.26) имеют тот же геометрический и энергетический смысл, что и для элементарной струйки (2); h_п – потеря напора (удельной энергии).

Уравнение (3) включает скоростной напор, вычисленный по средней скорости w в сечениях потока. Поскольку местные скорости отдельных струек распределены неравномерно, кинетическая энергия, вычисленная по скоростям каждой струйки, не равна кинетической энергии, вычисленной по средней скорости:

,

где α - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей.