Пример 17.7 Пусть . Напишите показательную форму числа

допустим вот пример:
x^2+x+2=0
D=-7
x1=-1+(i*корень из 7)/2
x2=-1-(i*корень из 7)/2
i -квадратный корень из минус единицы.

16. A- предел ф-ии f(x) в точке x=0,если для всех значений x достаточно близких к a, и отличных от a, значение ф-ии сколько угольно мало отличена от A. Это записывается математическим способом .

Замечательные пределы: .

17. основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль . Раскрытие неопределенностей: 1) для раскрытия пользуются: 1)разложение числителя и знаменателя на самоунижение 2)перед иррациональности из числителя в знаменатель и наоборот.

18. Точки в которых нарушается непрерывность ф-ии наз. точками разрывами ф-ии. Виды: Точка разрыва xₒ наз. точкой разрыва первого рода ф-ии, если в этой точке сущ. Конечные пределы ф-ии слева и справа при этом а)если лево сторонние и правосторонние пределы (A1=A2) равны, то xₒ - тока устранимого разрыва б)если A≠A1,то xₒ -точка конечного разрыва - скачок ф-ии в точке разрыва первого рода. Точка xₒ наз. точкой разрыва 2 рода ф-ии, если по крайней мере 1 из односторонних пределов не существует или равных бесконечности. Асимптоты – прямые, которые график ф-ии не пересикает.

19. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ееаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

20. Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

21. Во многих задачах функция y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций

невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая,
  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;

• Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).

22. Монотонность ф-ий: Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂).

Исследование на монотонность: Найти производную функции, после приравниваешь её к нулю.
Наносишь полученные точки на ось ОХ и определяешь знак производной на каждмо интервалею.Где производная положительна,то там функция возрастает

23. Функция y=f (x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x ₁ < x ₂ выполняется неравенство f (x ₁) < f (x ₂) (f (x ₁) > f (x ₂)).

Если дифференцируемая функция y = f (x) на отрезке [ a, b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢ (x) > 0 (f ¢ (x) < 0).

Точка x _о называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если существует окрестность точки x _о, для всех точек которой верно неравенство f (x) £ f (x _о) (f (x) ³ f (x _о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка x _о является точкой экстремума функции f (x), то либо f ¢ (x _о) = 0, либо f ¢ (x _о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x _о - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку x _о меняет знак плюс на минус, то в точке x _о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x _о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f (x) имеет производную
f ¢ (x) в окрестности точки x _о и вторую производную в самой точке x _о. Если f ¢ (x _о) = 0, >0 ( <0), то точка x _о является точкой локального минимума (максимума) функции f (x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [ a,b ] функция y = f (x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].

24. Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой. То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что (7.4) при всех . Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что (7.5) при всех .

25. 1. Область определения