Контрольные работы 2 страница

Рисунок 7 – Расчетные схемы балок

Рисунок 8 – Расчетные схемы балок (продолжение)

Таблица 3 – Исходные данные к задаче 3

Схема по рисункам 7, 8	l1	l 2	Расстояние в долях пролета	М, кН×м	F, кН	q, кН/м
	м	a1/a	а2/а	а3/а
	1,1
	1,2
	1,3
	1,4
	1,5
	1,6
	1,7
	1,8
	1,9
	2,0
е	д	е	г	д	е	г	д	е

Пример 3. Рассмотрим две схемы балок, представленных на рисунке 9.

Рисунок 9 – Схемы балок

Данные для расчета:

F = 20 кН; q = 20 кН/м; М = 40 кНм;

Для схемы (а): Для схемы (б):

Решение

Схема (а), рисунок 10

1. Для балки, защемленной одним концом (консольная балка), удобно отсчитывать участки от свободного конца. В этом случае расчет можно вести без определения опорных реакций.

Составим уравнения поперечных сил Q и изгибающих моментов М для участков.

Участок 1: ; Q₁ = – F = – 20 кН, М ₁ = Fx;

при x₁ = 0 М ₁ = 0, при х₁ = ₃ = 0,5 м М ₁ = 20 = 10 кНм.

Рисунок 10 – К расчету балки

Участок 2: ;

Q₂ = – F + q (x₂ – ₃), М ₂ = F x ₂ – q ;

при x ₂ = ₃ = 0,5 м Q₂ = – F = – 20 кН, М ₂ = 20 кНм;

при x ₃ = = 5 м Q₂ = – 20 + 20(5 – 0,5) = 70 кН,

М ₂ = 20 .

На этом участке Q меняет знак. Найдем значение x₂ = x₀, при котором Q = 0.

Q₂ = – F + q (x₂ – a₃) = 0; x ₂ = x ₀ = м.

В этом сечении балки момент экстремален.

При x ₂ = 1,5 м М _max = 20

Отложим положительные ординаты Q вверх, а отрицательные – вниз и, соединив полученные точки линиями, получим эпюру поперечных сил (рисунок 10). Эпюра изгибающих моментов строится на растянутых волокнах балки, т.е. положительные значения М откладываются ниже нулевой линии, отрицательные – выше.

2. Подбор размеров поперечного сечения балки. Условие прочности при изгибе запишем:

где W_z= осевой момент сопротивления поперечного сечения;

М _max = 102,5 кНм – максимальный изгибающий момент.

Тогда условие прочности можно представить в виде:

Отсюда определим диаметр поперечного сечения балки:

.

Схема (б), рисунок 11

1. Для построения эпюр Q и М необходимо определить опорные реакции из уравнений статики:

.

Отсюда

и отсюда же

Рисунок 11 – Расчетная схема балки и эпюры Q и M

Выполним проверку:

.

Следовательно, реакции определены верно.

2. Составим выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента.

Участок 1: ; Q₁ = – F= – 20 кН, М ₁ = – F х ₁;

при х ₁ = 0 М ₁ = 0; при х₁ = ₁ = 3,2м М ₁ = – 20 .

Участок 2: ; Q₂ = – F+R_A = – 20 + 74,2 = 54,2 кН,

М ₂ = – F ₂ + М + R_A(x ₂ – ₁);

при х ₂ = ₁ = 3,2 м М ₂ = – 20 ;

при х ₂ = ₁ + ₂ = 4,8 м М ₂ = – 20 .

Участок 3: ; ;

при х ₃ = 0 Q₃ = – R_B = – 73,8 кН, М ₃=0;

при х ₃ = 6,4 м Q₃ = – 73,8+20

М ₃ = 73,8 .

Определим экстремальное значение момента, так как поперечная сила на третьем участке изменяет знак:

Q₃ = – R_B + q x ₃ = 0, х ₃ = х ₀ = ;

М _max = 73,8

По полученным данным построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

3. Подберем размеры поперечного сечения двутавровой балки.

Для опасного сечения с М _max = 136,2 кНм из условия прочности при изгибе

получим W_Z =

Из таблицы сортамента прокатных профилей (ГОСТ 8339–89) подберем двутавр с ближайшим большим значением W_Z: № 40, W_Z = 9,47

Задача 4 – Статически определимая рама

Задание. Для одной из рам, изображенной на рисунке 12, требуется:

1) написать выражения для продольных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде;

2) построить эпюры N, Q и M;

3) подобрать двутавровое сечение при ;

4) определить горизонтальное перемещение точки 1 и угловое перемещение сечения в точке 2.

Данные взять из таблицы 4.

Для ломаных стержней и рам ординаты эпюры M, как и в балках, откладываются со стороны растянутого волокна.

Рисунок 12 – Схемы рам

Таблица 4 – Исходные данные к задаче 4

№ схемы
	3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1	3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1
e	д	е	д	е

Пример 5. Рассмотрим раму, представленную на рисунке 13.

Рисунок 13 – Заданная схема рамы

Решение

1. Определим опорные реакции и (рисунок 14).

Определим опорные реакции и (рисунок 14).

Для этого составим три уравнения равновесия:

, ,

откуда ;

, ,

откуда

откуда

Рисунок 14 – Расчетная схема рамы

Проверка реакций опор:

, ;

, ; .

Опорные реакции найдены верно.

Составим выражения N, Q и M для всех участков рамы, строго соблюдая правила определения знаков внутренних усилий.

Раму можно представить из пяти участков: и (рисунок 14).

Для всех участков ось X направляется вдоль стержней, т.е. мысленно представляем вертикальные участки рамы как горизонтальные. При этом нижние концы этих элементов (на рисунке 14 отмечены крестиком) принимаем в качестве левых концов участков.

На каждом участке проведем по одному сечению, определяемому координатой

Участок : .

Алгебраическая сумма проекций односторонних сил на ось стержня дает усилие

Алгебраическая сумма проекций односторонних сил на само сечение стержня дает усилие

.

Алгебраическая сумма моментов односторонних сил относительно центра тяжести сечения дает изгибающий момент

Участок : ;

; ; ;

при , при

Участок : ;

; ; ;

, .

Участок : ;

; , , ;

, , .

Участок : ;

; ,

, .

2. По вычисленным значениям строим эпюры N, Q и М (рисунок 15).

Рисунок 15 – Эпюры и

Для проверки правильности построения эпюр вырежем узлы рамы и приложим к ним все внутренние и внешние усилия (рисунок 16).

Рисунок 16 – Схемы узлов рамы

Проверка показывает, что узлы находятся в равновесии:

узел : , ;

узел : , .

Как правило, проверяют равновесие всех узлов рамы.

3. Подбор сечения. Ориентировочно подбираем номер двутавра из условия прочности при чистом изгибе, если :

.

Значение снято с эпюры M (рисунок 15).

Принимаем двутавр № 12 ГОСТ 8339-89:

, ,

Проверка прочности двутавра № 12 по нормальным напряжениям при совместном действии изгибающего момента и продольной силы:

;

4. Для вычисления горизонтального перемещение точки 1 рассмотрим вспомогательное (единичное) состояние рамы, отбросив все ранее действующие внешние нагрузки и приложив в этой точке по направлению искомого перемещения горизонтальную силу, равную единице (рисунок 17).

Построим для единичного состояния рамы эпюру изгибающих моментов. Для этого найдем ее реакции опор:

, ;

, ;

, .

Проверка:

.

Запишем уравнения изгибающего момента по участкам рамы:

участок : ; ;

участок : ;

, , ;

Рисунок 17 – Схема единичного состояния рамы и эпюра

участок : ;

;

участок : ;

, , .

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рисунок 17).

Горизонтальное перемещение точки 1 найдем «перемножением» рабочей (грузовой) эпюры (рисунок 15) с единичной (рисунок 17) по формуле Симпсона:

,

где длина участка рамы;

значения моментов грузовой эпюры в нача-

ле, середине и конце участка;

значение моментов единичной эпюры в на-

чале, середине и конце участка.

Вычисления проводим по участкам ( и ). Для этого на перечисленных эпюрах дополнительно найдем ординаты моментов посередине участков ( и ).

Для грузовой эпюры:

участок : ;

участок : ;

участок :

Для единичной эпюры:

участок : ;

участок : ;

участок : .

Напомним, что при «перемножении» эпюр произведения ординат рабочей и единичной эпюр, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные – со знаком минус.

Окончательно получим:

Для определения угла поворота сечения в точке 2 приложим в этом месте единичный момент () (рисунок 18).

Найдем реакции опор:

, ;

;

, .

Рисунок 18– Схема единичного состояния рамы и эпюра

Проверка:

Запишем уравнения изгибающего момента по участкам рамы:

участок : ; ;

участок : ; ;